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1、第 1 页 共 14 页 初等数学研究课程习题集 一、单选题 1.已知、是方程 22 (2)(35 )0 xkxkk的两实数根，则 22 1的最大值是（） . 20.1 9.2 1.1 8ABCD 2. 设()lg (1 01) 2 x x x b fxa xxab 4 是 偶 函 数 ， g () =是 奇 函 数 ， 则的 值 为 （） 11 .1.1. 22 ABCD 3. 设 432 ()fxxa xb xcxd，其中abcd、为常数，如果(1)1,f 1 (2 )2,(3)3,( 4)(0 ) 4 ffff则（） .5.3.7.11ABCD 4.若不等式 2 lo g0 m xx在区
2、间 （0，2）内恒成立， 则实数m的取值范围是 （） A 1 1 16 m B. 1 0 16 m C. 1 0 4 m D. 1 1 6 m 5.已知 ()()(,) ,(7 )7fxyfxyxyRf且， 则( 4 9 )f等于（） A.7 B. 14 C.49 D. 1 6.设 33 ,(5 )20 0 3(5)1, (4)2 0 03(4 )1,xyxxyy为 实 数 ， 满 足 则().xy A.1 B. 9 C. -1 D. -9 7.实数 xy、满足关系式 21yxx和1yx，则xy的值一定是（） 1 012.1 51 6.910.ABCD.与之 间与之 间与之 间一 个 整 数
3、第 2 页 共 14 页 8. 对每一个自然数n, 抛物线 22 ()(21)1, n ynn xnxxA与轴 交 于 n B 两 点 ， | nn A B以表示该两点的距离，则 1122 |A BA B 20 022 002 |AB等 于 （） 20 0 12 00 22 0 0320 0 4 . 20 022 00 32 0 0420 0 3 ABCD 9.已知多项式 2 (),4(1)1 ,1( 2 )5 ,(3)fxa xcfff则满 足 （） 3 82 5 .4(3)1 5.1(3)20.(3) 33 fBfCfDfA . 7( 3)2 6 10.若 2222 ,260,2xyxxy
4、xyx实 数满 足则的 最 大 值 为 (） A.15 B. 14 C. 17 D. 16 11.设 22 50,320,axxbxx是 一 元 二 次 方 程的 较 大 的 一 根是的 较 小 的 一 根 那么ab的值是（） A.-4 B. -3 C. 1 D. 3 12. 2 320 xx方 程的 最 小 一 个 根 的 负 倒 数 是 （） A.1 B. 1 2 C. 2 D. 4 13.在 ,A BCG 022 直 角中 ， A=9 0为 重 心 ， 且 GA=2 ,则 GB +GC=( ) A 25 B. 10 C. 20 D. 15 14.圆锥的侧面展开图的圆心角等于 0 1 2
5、0，该圆锥的侧面积与表面积之比值为（） A. 2 3 B. 4 5 C. 1 2 D. 3 4 15. 0 AB- AC 在ABC中 ,C=90 ,A的 平 分 线 AD交 BC于 D, 则 CD 等于（） .tan.sin.co s.co t.AABACADA 16.在 A B C中，A BAC，,DB CB EA CE为中 点且于交A DP于，已知3B P， 1P E，则P A（） 第 3 页 共 14 页 ABCD.3.23.2.6 17.已知梯形A中， /, A BC A B C D A DB CB DA B CB DD CSS 梯 形 平 分且则， 3ABCD.： 1.2. 5 ：
6、1.2 ： 1.1. 5： 1 18.已知 AD是直角三角形A BC斜边上的高， 43A BA C，,:() A B CA C D SS则， 5ABCD.： 3.2 5： 9.4 ： 3.1 6： 9 19.已知直角三角形的周长为26， 斜边上的中线为1, 则这个三角形的面积为 （） 1 23 4 ABCD 1 .1. 2 20.若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则他们的边长之比为（） 3 213 116 1 3 ABCD.：.：.：.： 二、填空题 1 21.集合 2 1, 2 ,31 ,1, 3 ,3AmmBAB，实数m的值是 _ 22.若函数 2 ()1fxxa x能取得负值，则实
7、数a的取值范围为 23.设xyz、为实数 , 且 1 21() 2 xyzxyz，则 23 xyz 24.函数 sin ()yAxb在同一周期内有最高点（,3 12 ） ，最底点（ 7 ,5 12 ） ，则 它的解析式为 25.若函数 2 (2)1,() 2 x fxf的 定 义 域 为， 则的 定 义 域 为 26.在等差数列 n a中，已知前20 项的和 n S=170，则 691 116 aaaa = 27. 已知： 1ta n 31 1tan ，则sin 2的值 = 第 4 页 共 14 页 28.设 211 1(0),()fxxfx xx 则 29. 2 ,1 2 0 n nSn数
8、列 的 前项 和那 么 这 个 数 列 的 前项 中所有奇数项的和是 30.2 0 06 !的末尾的“ 0”的个数是 31.已知： 1 2()()3fxfxx x ，则()_ _ _ _ _ _ _ _fx 32. 不等式 2 0axa bxb的解集是23Mx，则_ _ _ _,_ _ _ _ab 33.以三角形的三条中线长为边作三角形，则它的面积与原三角形面积之比为 34. P 是正方形 ABCD内一点， PA=2, PB=1, PD=3, 则A PB的度数为 35. 1 EF G AEB FA B CA EB FGS，是的 中 线 ，与交 于， 若，则 A B C S = 36.在 A B
9、 C中，5BCMIAB C，与分 别 是的 重 心 与 内 心 ，若/M IB C 则ABAC的值为 37.在 A B C中，9 0C，IIEABE为 内 心 ，于，若2BC，A C =3 ， 则AEEB 38.设直角三角形的斜边为C, 其内切圆的半径为r, 则内切圆的面积与三角形面积之比 是 39.若等腰梯形的两条对角线互相垂直, 高为 8cm，则上、下底之和为 40.凸 n 边形的 n 个内角与某一个外角的和为1350，则 n 等于 三、计算题 41. 121212 1,2, nnnnnnn aaaa aaaaa已 知 数 列中 ，且 12 1, nn aa求 2 0 03 1 . n n
10、 a 42.求函数 33 2 sin 3sinco s3co s sin 2 cos2 xxxx yx x 的最小值。 43. 第 5 页 共 14 页 111111 ()()3abcaabcabc bccaab 222 已 知、为 非 零 数 ， 且+b +c =1,）， 求的 值 。 44.函数 1 ()lo g(2)1 a fxx a 在 区 间1， 2 上 的 值 恒 为 正 ，求实数a 的取值范 围。 45.设()lg1234 xxx fxa ，其中a是实数，如果()fx在当x(,1时有 意义，求a的取值范围。 46.已知： lo g1 nn an（）， 设 1 023 2 1 lo
11、 g10 0 n n a q p ， 其中pq、为正整数， 且pq（、）=1， 求pq。 47.求不定方程 22 252260 xxyyxy的整数解。 48.求方程 1 312 2 xx所有根之和。 49. 设 4 次方程 432 1820 01 9 840 xxkxx的四个根中有两个根的乘积为 -32，求k。 50. 设数列 n a的前n项和23 nn Sa， 数列 n b满足： 11 3 kkk bbba， 求数列 n b的前n项和。 51.整系数多项式 ()px满足(1 9 )(9 4)1 99 4pp，求()p x的常数项。 （已知它的绝对值小于1000） 52. , 232 00 3
12、 xxx xRx若求 方 程的 解 集 。 53. 已 知A B C D中 ，/ /,2A DB CA DC D, 且A DBC、两 线 间 的 距 离 为23， 0 6 0B， 求ABC D的面积。 54.已知 : 3: 2: 5,abc求(32) : ( 4)abcabc的值。 第 6 页 共 14 页 55. 已知A B C中， 022 1 9 0,6 , sinco s, 2 CACBB求.A B 56.一个圆的内接六边形的面积与内接正方形的面积之差为 2 b，求这个圆的面积。 四、证明题 1 （略） 答案 一、单选题 1. B 2. D 3. C 4. A 5. A 6. B 7.
13、C 8. D 9. C 10. D 11. C 12. B 13. C 14. D 15. A 16. A 17. A 18. B 19. C 20. D 第 7 页 共 14 页 二、填空题 1 21. 4 或-1 22. 22xx或 23. 72 24. 4 sin ( 2)1 3 yx 25. -2，+ 26. 34 27. 433 13 28. 2 1 1x x 29. 7140 30. 500 31. 1 ()3fxx x 32. 5 ,5 6 ab 33. 3 ：4 34. 0 1 3 5 35. 12 36. 10 37. 3 38. r cr 39. 16 40. 8 三、计算
14、题 41. 解由 1212 ,(1) nnnnnn a aaaaa 123123nnnnnn aaaaaa得，（ 2 ）（2 分） 第 8 页 共 14 页 （2） - （1） 得 1233123 )0. nnnnnnnnnn aaaaaaaaaa（-， 即（- 1) ( 而 123 1, nnnn aaaa 故数列 n a 是以 3 为周期的周期数列。（5 分） 又 12 3 12 3,2 00 36 6732 1 aa a a a 且， 所以 2 00 3 1 66 7 n n a （ 1 +2+3 ） +1+2 =4 00 5。 （9 分） 42. 33 22 2222 3 3 2 si
15、n 3sincos3co s (s insin 3) sin(c o scos 3)cos 1 (s inco s) cos 2(c ossin) co s 4 2 1cos 4 co s2co s2 2 co s2 sin 2co s2sin 22 sin (2), co s24 sin (2)1 4 xxxx xxxxxx xxxxxx x xx x yxxxx x x （ 2 分 ） （ 4分 ） （ 6 分 ） 当 m in 3 ,22, 428 2 xkxkkz y 即时 ， （ 9 分 ） 43. 222 222 2 111111 ()1()1()10( 2) 111111111
16、()()()0 111 ()()0, 111 00 0,01 2 ()1 ()11 abc bcacab abc abcabcabc abc abc abc abc ab cabb ccaabc abca bb cca abcabc 原 式 变 为 ：分 所 以 或（ 4 分 ） 此 时所 以或 所 以 ，（ 7 01abc 分 ） 或（ 9分 ） 第 9 页 共 14 页 44. 0 1 1 2()(2)10,( 2) 1 (2)210 2 0(4) 3 1 (2 )1,lo g 111 (1)020 ,1, 2(2 )11 2 1 ()lo g(2)10 , 1, 2 a a a xfx a a a txyt a axtx aa fxx a fxx
