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1、2018 考研数学一真题及答案 一、选择题 1 8 小题每小题4 分，共 32 分 若函数 1 cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax bx 在 0 x 处连续，则 （A） 1 2 ab（B） 1 2 ab（C ）0ab（D）2ab 【详解 】 000 1 1cos1 2 lim( )limlim 2 xxx x x f x axaxa ， 0 lim( )(0) x f xbf，要使函数在 0 x处连续，必须满足 11 22 bab a 所以应该选（A ） 2设函数( )f x是可导函数，且满足( )( )0f x fx，则 （A）(1)( 1)ff（B）11( )()ff（C）1
2、1( )()ff（D）11( )()ff 【详解 】 设 2 ( )( )g xf x， 则( )2( )( )0gxf x fx， 也就是 2 ( )f x是单调增加函数 也 就得到 22 (1)( 1)(1)( 1)ffff，所以应该选（C） 3函数 22 ( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n的方向导数为 （A）12（B）6 (C）4（D）2 【详解 】 2 2,2 fff xyxz xyz ，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为4,1,0gradf， 所以 22 ( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n的方向
3、导数为 01 4,1,0(1,2,2)2 3 f gradfn n uu r r应该选（ D） 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲 的速度曲线 1( ) vv t（单位：米/ 秒） ，虚线表示乙的速度曲线 2( ) vv t（单位：米 / 秒） ， 三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙 追上甲的时刻为 0 t，则（） （A） 0 10t（B） 0 1520t （C） 0 25t（ D ） 0 25t 【详解 】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时， 2 1 ( )( ) T T S tv t dt表 示 时 刻 12
4、,T T内 所 走 的 路 程 本 题 中 的 阴 影 面 积 123 ,SSS分 别 表 示 在 时 间 段 0,10 , 10,25 , 25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 25t时乙追上甲，应该 选（ C） 5设为n单位列向量， E为n阶单位矩阵，则 （A） T E不可逆（B） T E不可逆 （C）2 T E不可逆（D）2 T E不可逆 【详解】矩阵 T 的特征值为1和1n个0，从而 ,2,2 TTTT EEEE的 特 征 值 分 别 为0,1,1,1L；2,1,1,1L； 1,1,1,1L；3,1,1,1L显然只有 T E存在零特征值，所以不可逆，应该选（A） 6已知矩阵
5、200 021 001 A ， 210 020 001 B ， 100 020 002 C ，则 （A）,A C相似，,B C相似（B）,A C相似，,B C不相似 （C）,A C不相似，,B C相似（D）,A C不相似，,B C不相似 【详解 】矩阵,A B的特征值都是 123 2,1是否可对解化，只需要关心2的 情况 对于矩阵A， 000 2001 001 EA ，秩等于1 ，也就是矩阵A属于特征值2存在两 个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是AC 对于矩阵B， 010 2000 001 EB ，秩等于2 ，也就是矩阵A属于特征值2只有一 个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化
6、，当然,B C不相似故选择（B） 7设,A B是两个随机事件，若0()1P A，0()1P B，则(/)(/)P ABP AB的充 分必要条件是 （A）(/)(/)P BAP BA（B）(/)(/)P BAP BA （C）(/)(/)P BAP BA（D）(/)(/)P BAP BA 【详解】由乘法公式：()( )(/),()()(/)P ABP B P ABP ABP BP AB可得下面结论： ()()( )() (/)(/)()() () ()1( )( ) P ABP ABP AP AB P A BP A BP ABP A P B P BP BP B 类似，由()()(/),()( )(
7、/)P ABP A P BAP ABP A P BA可得 ()()()() (/)(/)()( ) ( ) ( )1()( ) P ABP ABP BP AB P BAP B AP ABP A P B P AP AP A 所以可知选择（A） 8设 12 ,(2) n XXXnL为来自正态总体(,1)N的简单随机样本，若 1 1 n i i XX n ，则 下列结论中 不正确 的是（） （A） 2 1 () n i i X 服从 2 分布（B） 2 1 2 n XX服从 2 分布 （C） 2 1 () n i i XX 服从 2 分布（D） 2 ()n X服从 2 分布 解 ： （ 1） 显 然
8、 22 () (0,1)() (1),1,2, ii XNXinL且 相 互 独 立 ， 所 以 2 1 () n i i X 服从 2 ( )n分布，也就是（A）结论是正确的； （2） 2 222 2 1 (1) ()(1)(1) n i i nS XXnSn ，所以（ C）结论也是正确的； （3）注意 22 1 ( ,)() (0,1)() (1)XNn XNn X n ，所以（ D）结论也 是正确的； （4）对于选项（ B） ： 221 11 1 () (0,2)(0,1)() (1) 22 n nn XX XXNNXX， 所以（ B）结论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共6
9、小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上） 9已知函数 2 1 ( ) 1 f x x ，则 (3) (0)f 解：由函数的马克劳林级数公式： ( ) 0 (0) ( ) ! n n n f f xx n ，知 ( ) (0)! n n fn a，其中 n a为展 开式中 n x的系数 由于 242 2 1 ( )1( 1),1,1 1 nn f xxxxx x LL，所以 (3) (0)0f 10微分方程230yyy的通解为 【详解 】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 2 230rr有一对共共轭的 根12ri，所以通解为 12 (cos 2sin2 ) x yeC
10、xCx 11 若 曲 线 积 分 22 1 L xdxaydy xy 在 区 域 22 ( , ) |1Dx yxy内 与 路 径 无 关 ， 则 a . 【详解 】设 2222 ( , ),( , ) 11 xay P x yQ x y xyxy ，显然( ,),( , )P x y Q x y在区域内 具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1 QP a xy 12幂级数 11 1 ( 1) nn n nx 在区间( 1,1)内的和函数为 【详解 】 1111 2 111 1 ( 1)( 1)()( 1) 1(1) nnnnnn nnn x nxxx xx 所以 2 1 ( ),( 1,1
11、) (1) s xx x 13设矩阵 101 112 011 A， 123 ,为线性无关的三维列向量，则向量组 123 ,AAA 的秩为 【详解 】对矩阵进行初等变换 101101101 112011011 011011000 A ，知矩阵A 的 秩为 2，由于 123 ,为线性无关，所以向量组 123 ,AAA的秩为 2 14设随机变量X的分布函数 4 ( )0.5( )0.5 2 x F xx ，其中( )x为标准正态分 布函数，则EX 【详解 】随机变量X的概率密度为 4 ( )( )0.5 ( )0.25 () 2 x f xFxx，所以 4 ()( )0.5( )0.25() 2 4
12、 0.25()0.25 2(24) ( ) 2 2( )2 x E Xxf x dxxx dxxdx x xdxtt dt t dt 三、解答题 15 （本题满分10 分） 设函数( , )f u v具有二阶连续偏导数，(,cos) x yf ex，求 0 |x dy dx ， 2 02 |x d y dx 【详解 】 12 (,cos )(,cos )(sin ) xxx dy fex efexx dx ， 01 |(1,1) x dy f dx ； 2 1111222 2 2122 (,cos)(,cos)sin(,cos)cos(,cos) sin(,cos)sin(,cos) xxxx
13、xxx xxx d y e fexefex exfexxfex dx xe fexxfex 2 01112 2 |(1,1)(1,1)(1,1) x d y fff dx 16 （本题满分10 分） 求 2 1 limln 1 n n k kk nn 【详解 】由定积分的定义 1 2 0 11 1 2 0 1 limln 1limln 1ln(1) 11 ln(1) 24 nn nn kk kkkk xx dx nnnnn x dx 17 （本题满分10 分） 已知函数( )y x是由方程 33 3320 xyxy 【详解 】在方程两边同时对x求导，得 22 33330 xy yy（1） 在（
14、 1）两边同时对x求导，得 22 22 ()0 xy yy yy 也就是 2 2 2() ) 1 xy y y y 令0y，得 1x 当 1 1x时， 1 1y；当 2 1x时， 2 0y 当 1 1x时，0y，10y，函数( )yy x取极大值 1 1y； 当 2 1x时，0y，10y函数( )yy x取极小值 2 0y 18 （本题满分10 分） 设函数( )f x在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f， 0 ( ) lim0 x f x x ，证明： （1）方程( )0f x在区间0,1至少存在一个实根； （2）方程 2 ( )( )( )0f x fxfx在区间0,1内至少存在两个不
15、同实根 证明：（ 1）根据的局部保号性的结论，由条件 0 ( ) lim0 x f x x 可知，存在01，及 1 (0,)x，使得 1 ()0fx，由于( )f x在 1,1 x上连续， 且 1 ()(1)0f xf，由零点定理， 存在 1 (,1)(0,1)x，使得( )0f，也就是方程( )0f x在区间0,1至少存在一个 实根； （2）由条件 0 ( ) lim0 x f x x 可知(0)0f，由（ 1）可知( )0f，由洛尔定理，存在 (0,)，使得( )0f； 设( )( )( )F xf x fx，由条件可知( )F x在区间0,1上可导，且 (0)0,( )0,( )0FFF
16、，分别在区间0,上对函数( )F x使用尔定理，则存 在 12 (0,)(0,1),( , )(0,1),使 得 1212 ,()()0FF， 也 就 是 方 程 2 ( )( )( )0f x fxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根 19 （本题满分10 分） 设薄片型S是圆锥面 22 zxy被柱面 2 2zx所割下的有限部分， 其上任一点的密度为 222 9 xyz，记圆锥面与柱面的交线为C （1）求C在xOy布上的投影曲线的方程； （2）求S的质量 .M 【详解 】 （1）交线C的方程为 22 2 2 zxy zx ，消去变量z，得到 22 2xyx 所以C在xOy布上的投影曲线的方程为 22 2 . 0 xyx z （2）利用第一类曲面积分，得 22 22 222 22 2222 2222 2 22 2 ( , , )9 91 1864 SS xyx xyx Mx y z dSxyz dS xy xyxydxdy xyxy xy dxdy 20 （本题满分11 分） 设三阶矩阵 123
