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1、导数专题目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1)二、交点与根的分布(23)三、不等式证明(31)(一)作差证明不等式(二)变形构造函数证明不等式(三)替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围(51)(一)恒成立之最值的直接应用(二)恒成立之分离常数(三)恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用(70)六、导数应用题(84)七、导数结合三角函数(85)书中常用结论(zhongdianzhangwo),变形即为,其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. (切线)设函数.(1)当时,求函数在区间上的最小值;(2)当时,曲线在点处的切
2、线为,与轴交于点求证:.解:(1)时,由,解得. 的变化情况如下表:01-0+0极小值0 所以当时,有最小值.(2)证明:曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 令,得, ,即. 又, 所以.2. (2009天津理20,极值比较讨论)已知函数其中当时,求曲线处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,求函数的单调区间与极值.解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论:,则.当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值 w.w
3、.w.k.s.5.u.c.o.m ,则,当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. 已知函数设两曲线有公共点,且在公共点处的切线相同,若,试建立 关于的函数关系式,并求的最大值;若在(0,4)上为单调函数,求的取值范围。4. (最值,按区间端点讨论)已知函数f(x)=lnx.(1)当a0时,判断f(x)在定义域上的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为,求a的值.解:(1)由题得f(x)的定义域为(0,),且 f (x).a0,f (x)0,故f(x)在(0,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知:f (x),若a1,则xa0,即f (
4、x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为增函数,f(x)minf(1)a,a (舍去).若ae,则xa0,即f (x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为减函数,f(x)minf(e)1,a(舍去).若ea1,令f (x)0,得xa.当1xa时,f (x)0,f(x)在(1,a)上为减函数;当ax0,f(x)在(a,e)上为增函数,f(x)minf(a)ln(a)1a.综上可知:a.5. (最值直接应用)已知函数,其中.()若是的极值点,求的值;()求的单调区间;()若在上的最大值是,求的取值范围.解:().依题意,令,解得 . 经检验,时,符合题意. ()解: 当时,.故的单
5、调增区间是;单调减区间是. 当时,令,得,或.当时,与的情况如下:所以,的单调增区间是;单调减区间是和.当时,的单调减区间是. 当时,与的情况如下:所以,的单调增区间是;单调减区间是和. 当时,的单调增区间是;单调减区间是.综上,当时,的增区间是,减区间是;当时,的增区间是,减区间是和;当时,的减区间是;当时,的增区间是;减区间是和.()由()知 时,在上单调递增,由,知不合题意.当时,在的最大值是,由,知不合题意.当时,在单调递减,可得在上的最大值是,符合题意. 所以,在上的最大值是时,的取值范围是.6. (2010北京理数18)已知函数=ln(1+)-+(0).()当=2时,求曲线=在点(
6、1,(1)处的切线方程;()求的单调区间.解:(I)当时,由于,所以曲线在点处的切线方程为 即(II),.当时,.所以,在区间上,;在区间上,. 故得单调递增区间是,单调递减区间是.当时,由,得,所以,在区间和上,;在区间上,故得单调递增区间是和,单调递减区间是.当时, 故得单调递增区间是.当时,得,.所以没在区间和上,;在区间上,故得单调递增区间是和,单调递减区间是7. (2010山东文21,单调性)已知函数当时,求曲线在点处的切线方程;当时,讨论的单调性.解:因为 , 所以 , 令 8. (是一道设计巧妙的好题,同时用到e底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,联
7、系紧密)已知函数若函数 (x) = f (x),求函数 (x)的单调区间;设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0,f (x0)处的切线,证明:在区间(1,+)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切解:() ,且,函数的单调递增区间为 () , 切线的方程为, 即, 设直线与曲线相切于点,,. 直线也为, 即, 由得 , 下证:在区间(1,+)上存在且唯一.由()可知,在区间上递增又,结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立9. (最值应用,转换变量)设函数(1)讨论函数在定义域内的单调性;(2)当时,任意,恒成立,求实数的取值范围解:
8、当时,增区间为,减区间为,当时,减区间为当时,增区间为,减区间为,由知,当时,在上单调递减,即恒成立,即,又,10. (最值应用)已知二次函数对都满足且,设函数(,)()求的表达式;()若,使成立,求实数的取值范围; ()设,求证:对于,恒有 解:()设,于是所以 又,则所以 3分 ()当m0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;4分当m=0时,对,恒成立; 5分 当m0时,在区间(0,1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调递增,函数在区间上的最小值为又,函数在区间0,4上的值域是,即又在区间0,4上是增函数,且它在区间0,4上的值域是.,存在使得成立只须1.13. (2010山东,两边分
9、求,最小值与最大值)已知函数.当时,讨论的单调性;设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.解:本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值,然后解不等式求参数.,令当时,当,函数单调递减;当,函数单调递增.当时,由,即,解得.当时,恒成立,此时,函数单调递减;当时,,时,函数单调
10、递减;时,函数单调递增;时,函数单调递减.当时,当,函数单调递减;当,函数单调递增.综上所述:当时,函数在单调递减,单调递增;当时,恒成立,此时,函数在单调递减;当时,函数在递减,递增,递减.当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,有,又已知存在,使,所以,()又当时,与()矛盾;当时,也与()矛盾;当时,.综上,实数的取值范围是.14. 设函数()当时,过原点的直线与函数的图象相切于点P,求点P的坐标;()当时,求函数的单调区间;()当时,设函数,若对于,0,1使成立,求实数b的取值范围.(是自然对数的底,)解:函数的定义域为, ()设点,当时,则,解得,故点P 的坐标为() 当,或时,当时,故当时,函数的单调递增区间为;单调递减区间为,()当时,由()可知函数在