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1、二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,平面角由 射线-点-射线构成。,二面角由 半平面-线-半平面构成。,定义,二面角的表示,二面角 l ,二面角CAB D,二面角的画法,一个平面垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线分别为OA,OB,O为垂足,则AOB叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,二面角的度量,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,l,6,P,二面角的平面角的作法：,、点P在棱上,定义法,、点P在一个半平面上,三垂线定理法,、点P在二
2、面角内,垂面法,P,公式法,7,例1 如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60 BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO = a ，BPM =BPN = 45,CO=a，DO=a, PC= a ,PD = a,又MPN=60,CD=PC= a,COD=90,因此，二面角的度数为90,a,8,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD,A,O,D,例2、已知锐二面角 l ，A为面内一
3、点，A到的距离为2 ，到l 的距离为4，求二面角 l 的大小。,解：,则由三垂线定理得 AD l ADO就是二面角l的平面角,二面角 l 的大小为60 ,作,证,计算,17,结论,在RtADO中,AO=2 , AD=4 ADO=60,二面角的计算步骤,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明所作的角就是所求二面角的平面角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,10,1.如图 ABCD是正方形，PD平面ABCD,则 (1)面PAB与面ABCD所成二面角的平面角是_, (2)面PBC与面ABCD所成二面角的平面角是_, (3)面PAD与面PCD所成的二面角的平面角是_, (4)面PAC与
4、面ACD所成的二面角的平面角是_.,O,练 习,2、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是,60,12,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点， ABC=90,OEBC且 OE BC,在RtPOE中， OE ，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,4如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE ，PB=1，PE,OEAB ，因此 P
5、EAB,解：,13,M,2,1,6 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,A,D,B,C,l,OAC 120,AO=BD=1, AC=2,四边形ABDO为矩形, DO=AB=3,解,（方法一）,6 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,二、二面角的平面角,一、二面角的定义,从空间一直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,2、求二面角的平面角方法,点P在棱上,点P在一个半平面上,点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,小结,公式法,
