《百师联盟2020届高三月考五（全国卷1）数学（理）试题 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《百师联盟2020届高三月考五（全国卷1）数学（理）试题 Word版含解析（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、百师联盟2020届高三月考五全国卷理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数真数为正实数化简集合的表示，根据补集的定义、交集的定义进行求解即可.【详解】，得，则，所以，即故选：C【点睛】本题考查了集合补集和交集的运算，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力.2.高一2班有45名学生，学号为01-45，为弘扬中国古诗词文化，现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛，从随机数表第5行第15个数开始向右数，随机数表的第5行和
2、第6行，则抽取的第7个同学的学号是( )16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A. 26B. 35C. 20D. 43【答案】A【解析】【分析】根据随机数的读取规则，结合表中数据，即可求得结果.【详解】选取的7名同学的学号依次为43，17，37，23，35，20，26.所以抽取的第7个同学的学号是26.故选：A.【点睛】本题考查随机数表法的
3、操作，属简单题.3.已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则不等式的解集为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质先判断奇函数的单调性，再根据单调性和奇函数的性质进行求解即可.【详解】由奇函数图象性质知的图象在上单调递增，则，即，所以，解得故选：D【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了利用单调性求解不等式解集问题，考查了数学运算能力.4.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线渐近线上一点，若是等边三角形（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质，结合双曲线渐近线方程、离心率公式、之间的关
4、系进行求解即可.【详解】由在渐近线上且是等边三角形，其中一条渐近线的斜率，所以离心率故选：B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了等边三角形的性质，考查了数学运算能力.5.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若和均是素数，素数对称为孪生素数从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出15以内的素数，然后再确定素数对，最后根据古典概型计算公式进行求解即可.【详解】依题意，15以内的素数有2，3，5，7，11，13，共有6个，由列举可知从中
5、选取两个共包含15个基本事件，而孪生素数有，三对，包含3个基本事件，所以概率为故选：C【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.6.图1中茎叶图是某班英语测试中学号为1至15号同学的成绩，学生成绩的编号依次为，则运行图2的程序框图，输出结果为（ ） A. 121B. 119C. 10D. 5【答案】C【解析】【分析】通过执行程序框图识别框图的功能，再根据茎叶图统计出相应分数的人的个数即可.【详解】由程序框图可知该框图的功能是统计分数不小于120分的人数通过茎叶图可知分数不小于120分的人数为10.故选：C【点睛】本题考查了程序框图的功能，考查了茎叶图的应用，属
6、于中档题.7.函数的部分图象，如图，则( )A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】由函数最值和周期性求得，由五点作图法求得，即可求得函数解析式和函数值.【详解】因为的最大值为，最小值为，故可得；因为的周期，故可得；由五点作图法即可得：，解得.故可得，则.故选：D.【点睛】本题考查由三角函数的图像求函数解析式，属基础题.8.已知向量和向量满足，且，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，所以有，所以化简得：，所以故选：D【点睛】本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量模
7、的运算性质，考查了数量积的运算性质，考查了数学运算能力.9.已知函数，则下列能正确表示函数（粗线）及导函数（细线）图象的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性，以及的大小，即可判断.【详解】，故可得，又，所以是偶函数，故排除；因为，故排除；，故排除；只有满足所有条件.故选：A.【点睛】本题考查原函数与导函数的图像，涉及导函数的求解，属综合基础题.10.在的展开式中的系数为( )A. 20B. 19C. 10D. 9【答案】B【解析】【分析】根据展开式的通项公式，结合的产生，即可求得结果.【详解】二项式展开式的通项公式，则的展开式中的系数为.故选：B.【点睛】本题
8、考查利用二项式定理求指定项的系数，属基础题.11.已知函数，则函数图象与直线的交点个数为（ ）A. 5B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，问题转化为方程的根的个数，运用换元法，结合函数图象，分类讨论进行求解即可.【详解】如图为函数的图象，函数图象与直线的交点个数即为方程的根的个数，令，则即寻找直线与图象的交点个数当时，得，与的图象1个交点；当时，解得或（舍），当时，与图象的2个交点综上所述，直线与图象一共4个交点即满足题意的交点个数为3个故选：D【点睛】本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.12.已知点，分别是抛物线和圆上的动
9、点，点，则的最小值为( )A. 10B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出点的坐标，用表示出；根据圆上一点到定点距离的范围，求得的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值.【详解】设点，因为点在抛物线上，所以，因为点，则.又知点在圆上，圆心为抛物线的焦点，要使的值最小，则的值应最大，即.所以当且仅当时等号成立.所以的最小值为4.故选：B.【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_【答案】【解析】【分析】利用与之间的关系，利用诱导公式和正弦的倍角公式，
10、即可求得结果.【详解】由题，即可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式，正弦的倍角公式化简求值，属基础题.14.在复平面内，复数满足：，则复数对应的点的轨迹方程是_【答案】【解析】【分析】设对应点，根据复数模的计算公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】设对应点，则，设点，则，所以点在以，为焦点的椭圆上，轨迹方程为故答案为：【点睛】本题考查了复数模的计算公式，考查了椭圆的定义，考查了数学运算能力.15.如图在等腰直角三角形中，斜边，为中点，将沿中线折叠得到三棱锥，若，则该三棱锥外接球的表面积为_. 【答案】【解析】【分析】将三棱锥补为三棱柱，求得三棱柱的外接球半径，即可求得结果.【详解
11、】将该三棱锥补成三棱柱，如下图所示：又因为是边长为2的等边三角形，故其外接圆半径；又棱柱的高；则该三棱柱的外接球半径.所以外接球表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，属中档题.16.在边长为等边中，是中心，直线经过点且与，两边分别交于，两点，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设，在中由正弦定理，用表示出，再利用正余弦的和角公式，将表示为的函数，求该函数的最值即可.【详解】设中点为，如下图所示：因为是重心，所以.在中，由正弦定理得，所以，同理在中，由正弦定理得.所以，当时，.故答案为：.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，
12、属综合中档题；本题中，选择角度为变量，是解决问题的关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知数列的首项为1，当时，其前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求满足的最小的值.【答案】（1）；（2）20【解析】【分析】（1）利用之间的关系，将递推公式转化为之间的关系，构造数列，求得，进而求得；（2）由（1）中所求，解得，利用裂项求和法求得，解不等式即可求得结果.【详解】（1）在数列中，当时，即，所以，化简得.所以数列是首项为1，公
13、差为1的等差数列，所以，解得.当时，.当时不满足，所以.（2）由（1）知，所以.若，即，解得.所以满足的最小的值为20.【点睛】本题考查利用求数列的通项公式，裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.18.在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是菱形且与底面垂直，点是中点，点是上靠近点的三等分点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交交于，连接，通过证明/，即可得证线面平行；（2）以中点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，通过向量法即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）连接，交于点，连接.因为，所以,又因为，所以
14、，所以，又平面，平面，所以平面.（2）过作于，因为，所以是线段的中点.因为平面平面，平面平面，所以平面，连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以.所以 平面 .如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，不妨设，则，由，得，则的中点，从而，.设平面的法向量为，则，即，不妨取，得，即.易知平面一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解二面角的大小，属综合中档题；本题的难点在于合理的建系.19.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上一点，若当时，面积达到最大，最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于，两点，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）存在，直线方程为或【解析】【分析】（1）根据椭圆焦点三角形的性质，结合，进行求解即可；（2
