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1、福清市2020届高三年“线上教学”质量检测文科数学试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合然后再求的交集.【详解】由，得，即.所以故选：C【点睛】本题考查对数函数的定义域，集合的交集,属于基础题.2.已知复数满足，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由条件得出复数，从而可得到答案.【详解】由复数满足.可得所以则在复数在复平面内对应的点为，
2、在第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念和复数的几何意义，属于基础题.3.已知圆：（），直线：.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】圆的圆心为到直线的距离为1，由圆上恰有三个点到直线的距离为1，得到圆心为到直线的距离为，由此求出的值.【详解】圆的圆心为,则圆心到直线的距离.又圆上恰有三个点到直线的距离为1.所以圆心为到直线的距离为,即所以 故选：A【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，点到直线的距离,，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的是（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】
3、B【解析】【分析】根据框图可得程序是求数列的前999项的和再加上2，由可得到答案.【详解】根据框图的运行可得：程序是2加上数列的前999项的和.又所以 故选：B【点睛】本题考查程序框图中的循环和裂项相消法求和，属于中档题.5.甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的、五个座位.已知：（1）若甲或者乙中的一人坐在座，则丙坐在座；（2）若戊坐在座，则丁坐在座.如果丁坐在座，那么可以确定的是：（ ）A. 甲坐在座B. 乙坐在座C. 丙坐在座D. 戊坐在座【答案】C【解析】【分析】由于丁坐在座，由（1）则甲或者乙都不能坐在座，由（2）戊不坐在座，所以只能是丙坐在座.【详解】由于丁坐在座
4、，则丙不可能坐在座；由（1）有，丙不可能坐座，则甲或者乙都不能坐在座.由于丁坐在座,所以丁不坐在座，由（2），则戊不坐在座.所以只能是丙坐在座. 故选：C【点睛】本题考查简单的推理，原命题与你否命题之间的关系,属于基础题.6.如图，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是底面为矩形高为2的四棱锥，结合图中数据可计算出其表面积.【详解】根据三视图可知该几何体是底面为矩形高为2的四棱锥,且侧面底面，将之放入长方体中，如图.结合图中数据，该四棱锥的表面
5、积为： 故选：B【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，属于中档题.7.下列图象中，函数，图象的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件，分析可得为偶函数且在区间上恒成立，由此可以用排除法得到答案.【详解】根据题意，.所以为偶函数，其图像关于轴对称，所以可以排除选项.在上单调递增，所以，且.则在上，排除选项.故选：D【点睛】本题考查根据函数解析式选择函数图像，注意分析函数的奇偶性、单调性、定义域、值域和一些特殊点处的函数值，属于中档题.8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得，根据角的范围可得到答案.【详解】由有.所以，即又，则，所以
6、，则所以有即.故选：A【点睛】本题考查正切的和角公式的逆用和正切函数的单调性以及二倍角公式，属于中档题.9.将函数的图象横坐标变成原来的（纵坐标不变），并向左平移个单位，所得函数记为.若，且，则（ ）A. B. C. 0D. 【答案】D【解析】【分析】先利用函数的图像变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得的值，可得的值.【详解】将函数的图象横坐标变成原来的（纵坐标不变），得到 的图像.再左平移个单位，得到.当，时，由，有 ，所以所以故选：D【点睛】本题考查函数的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.10.已知正方体的棱长为2，平面.平面截此正方体所得的截面有以下四个结论
7、：截面形状可能是正三角形截面的形状可能是正方形截面形状可能是正五边形截面面积最大值为则正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由平面，则可以将平面进行平移使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形，从而分析出答案.【详解】由平面，当平面为平面，满足截面为正三角形, 故正确.则将平面进行平移使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形.如图，当平面向右平移，靠近点时，截面为三角形，面积逐渐变小.当平面向左平移到与平面重合的过程中，截面为六边形，继续向右平移，截面为三角形.所以截面形状不可能为正方形，也不可能为正五边形，所以，不正确 .当截面为三角
8、形时的面积当截面为六边形时，由,即垂直于截面六边形，设此时截面与面 相交于，如图.平面平面,则 设，所以.则，则所以.同理可得，六边形其他相邻两边的和也为.所以六边形的周长为定值,所以当六边形的边长相等，即为正六边形时，其面积最大.此时,正六边形的边长为 .面积的最大值为： ,所以正确.所以正确的是故选：A【点睛】本题考查平面与正方体的截面问题，考查空间想象能力，属于中档题.11.若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数有两个零点，设，即函数的图像与有两个交点，作出函数图像，可得答案.【详解】函数有两个零点，即方程有两个实数根.设，即函数的图
9、像与有两个交点，又，作出函数的图像，如图.由图可知：当时，函数的图像与有两个交点所以的取值范围是故选：C【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.12.已知抛物线（）的焦点为，与双曲线：（，）的一条渐近线交于（异于原点）.抛物线的准线与另一条渐近线交于.若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件求出坐标，由结合抛物线的定义，可得垂直于准线，所以由的纵坐标可得 的关系，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线：的渐近线方程为： 设点在第一象限，由，可得 由，可得 由，又由抛物线的定义有：点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离.所以
10、垂直于准线，即，则，也即是所以双曲线的渐近线方程为： 故选：D【点睛】本题考查抛物线的定义的应用和求双曲线的渐近线方程，属于中档题.第卷（共70分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题：第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】由可得，再由，根据向量的减法法则可得与的夹角为.【详解】由,的，即.所以，由向量的加法法则有，设 则. 与的夹角为.由，可得为等边三角形.所以与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查向量的数据的运算和向量的夹角，属于基础题.
11、14.已知实数，满足约束条件则的最小值为_.【答案】4【解析】分析】画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数找出最优解，求出的最小值.【详解】画出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图.将目标函数变形为 表示直线在轴上的截距的2倍，所以只需直线在轴上的截距最小.由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小.由 解得 所以的最小值为： 故答案为：4【点睛】本题考查线性规划的简单应用问题，属于基础题.15.九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步.文勾中容圆径几何？”其意思是：“己知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？
12、”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是_.【答案】【解析】【分析】在直角三角形中利用等面积法求出内切圆半径,然后用几何概率公式求解.【详解】己知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,则斜边长为17步.由等面积有，则.向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是 故答案为：【点睛】本题考查直角三角形的内切圆的知识，用几何概率公式求概率，属于中档题.16.设的内角、所对的边分别为，则面积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由已知结合正弦定理以及和角公式化简条件即可求出角，再用余弦定理及基本不等式可求出的最大值，结合三角形的面积公式即可求出答案.【详解】因为，即由正弦定理得 因为，所
13、以,且所以.由余弦定理得： 所以即，当且仅当时取等号.所以面积为 故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.三、解答题：写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、公司和自主创业等五大行业2020届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是70人，140人和210人现采用.分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取18人调查学生的就业意向.（1）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？（2）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的18
14、人中，就业意向恰有三个行业的学生有5人为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这5名学生分别记为、，统计如下表：公务员教师金融公式自主创业其中“”表示有该行业就业意向，“”表示无该行业就业意向.现从、这5人中随机抽取2人接受采访.设为事件“抽取的2人中至少有一人有自主创业意向”，求事件发生的概率.【答案】（1）分别抽取3人，6人，9人（2）【解析】【分析】(1)由已知，数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业学生之比为1:2:3，采用分层抽样的方法分别计算即可.(2)用列举法得到从、这5人中随机抽取2人接受采访的情况有10种，然后列举出事件所包含的结果，由古典概率的计算公式可得答案.【详解】（1）由己知，数学与应用
