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1、 1 / 20 1 八年级数学（下册）知识点总结八年级数学（下册）知识点总结 二次根式二次根式 【知识回顾】【知识回顾】 1.二次根式：式子（0）叫做二次根式。1.二次根式：式子（0）叫做二次根式。aa 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母 中不含根式。中不含根式。 3.同类二次根式：3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式。 二次根式化成最简二次根式后，若被开
2、方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式。 4.二次根式的性质：4.二次根式的性质： （1） （）（1） （）2 2= （0） ； （2）= （0） ； （2）aaa aa2 5.二次根式的运算： 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可 以用它的算术根代替而移到根号外面 ； 如果被开方数是代数和的形式， 那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移 到根号里面 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可 以用它的算术根代替而移到根号外面 ； 如果被开方数是代数和的形
3、式， 那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移 到根号里面 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的 积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的 积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab= =ab（a0，b0） ； （a0，b0） ； bb aa （b0，
4、a0） （b0，a0） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配 律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配 律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 【典型例题】【典型例题】 1、概念与性质1、概念与性质 例 1 下列各式 1）例 1 下列各式 1） 222 11 ,2)5,3)2,4) 4,5) () ,6) 1,7)21 53 xaaa， 其中是二次根式的是_1 3 4 5 _（填序号） 其中是二次根式的是_1 3 4 5 _（填序号） 例 2、求下列二次根式中字母的取值范围例
5、 2、求下列二次根式中字母的取值范围 （0）aa （0）aa 0 （=0） ；a 2 / 20 2 （1）；（2）（1）；（2） x x 3 1 5 2 2)-(x 例 3、 在根式 1) 例 3、 在根式 1) 222 ;2);3);4) 27 5 x abxxyabc，最简二次根式是（C ），最简二次根式是（C ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4) 例 4、已知：例 4、已知： 。22, 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 例 5、 （2009 龙岩）已知数 a，b，若例 5、 （2009 龙
6、岩）已知数 a，b，若 2 ()ab=ba，则 (B )=ba，则 (B ) A. ab B. ab B. a0，b0 时，则：它运用如下性质：当 a0，b0 时，则： ； ； 1 a ab b 1 a ab b 例 8、比较与的大小。例 8、比较与的大小。5323 5、规律性问题 5、规律性问题 例 1. 观察下列各式及其验证过程：例 1. 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：， 验证：； 验证: 验证:. . 4 / 20 4 （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进 行验证； 的变形结果，并进
7、行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 n(n2，且 n 是整数)表示的等式，并给 出验证过程. （2）针对上述各式反映的规律，写出用 n(n2，且 n 是整数)表示的等式，并给 出验证过程. 5 / 20 5 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 2bb2 2=c=c2 2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2 2bb2 2=c=c2 2。 ，那么这个三角形是
8、直角。 ，那么这个三角形是直角 三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那 么另一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那 么另一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 4.直角三角形的性质 （1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90A+B=90 （1） 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90A+B=90 （2）
9、、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 （2） 、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 A=30 可表示如下： BC=AB 可表示如下： BC=AB 2 1 C=90 C=90 （3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 ACB=90 可表示如下： CD=AB=BD=AD 可表示如下： CD=AB=BD=AD 2 1 D 为 AB 的中点 D 为 AB 的中点 5、摄影定理5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的 摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和 斜边的
10、比例中项 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的 摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和 斜边的比例中项 ACB=90 ACB=90 BDADCD 2 ABADAC 2 CDAB CDAB ABBDBC 2 6、常用关系式6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC 6 / 20 6 7、直角三角形的判定 7、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边
11、的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，那么这 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，那么这 222 cba 个三角形是直角三角形。个三角形是直角三角形。 8、命题、定理、证明 8、命题、定理、证明 1、命题的概念1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义：理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子；（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。（2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类（按正确
12、、错误与否分）2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 真命题（正确的命题） 命题命题 假命题（错误的命题） 假命题（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 3、公理3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 4、定理4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。用推理的方法判
13、断为正确的命题叫做定理。 5、证明5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 6、证明的一般步骤6、证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。（1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 9、三角形中的中位线9、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 7 / 20 7 （1）三角形共有三条
14、中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。（2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用：三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条
15、中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 10 数学口诀.10 数学口诀. 平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相 混淆。 完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央 ； 首尾括号带平方，尾项符号随中央。 平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相 混淆。 完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央 ； 首尾括号带平方，尾项符号随中央。 四边形 四边形 1四边形的内角和与
