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1、 1 / 20 1 八年级数学(下册)知识点总结八年级数学(下册)知识点总结 二次根式二次根式 【知识回顾】【知识回顾】 1.二次根式:式子(0)叫做二次根式。1.二次根式:式子(0)叫做二次根式。aa 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; 被开方数中不含分母; 分母被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; 被开方数中不含分母; 分母 中不含根式。中不含根式。 3.同类二次根式:3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次 根式。 二次根式化成最简二次根式后,若被开
2、方数相同,则这几个二次根式就是同类二次 根式。 4.二次根式的性质:4.二次根式的性质: (1) ()(1) ()2 2= (0) ; (2)= (0) ; (2)aaa aa2 5.二次根式的运算: 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可 以用它的算术根代替而移到根号外面 ; 如果被开方数是代数和的形式, 那么先解因式, 变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移 到根号里面 (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可 以用它的算术根代替而移到根号外面 ; 如果被开方数是代数和的形
3、式, 那么先解因式, 变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移 到根号里面 (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除) ,将被开方数相乘(除) ,所得的 积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除) ,将被开方数相乘(除) ,所得的 积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab= =ab(a0,b0) ; (a0,b0) ; bb aa (b0,
4、a0) (b0,a0) (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配 律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算 (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配 律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算 【典型例题】【典型例题】 1、概念与性质1、概念与性质 例 1 下列各式 1)例 1 下列各式 1) 222 11 ,2)5,3)2,4) 4,5) () ,6) 1,7)21 53 xaaa, 其中是二次根式的是_1 3 4 5 _(填序号) 其中是二次根式的是_1 3 4 5 _(填序号) 例 2、求下列二次根式中字母的取值范围例
5、 2、求下列二次根式中字母的取值范围 (0)aa (0)aa 0 (=0) ;a 2 / 20 2 (1);(2)(1);(2) x x 3 1 5 2 2)-(x 例 3、 在根式 1) 例 3、 在根式 1) 222 ;2);3);4) 27 5 x abxxyabc,最简二次根式是(C ),最简二次根式是(C ) A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4) 例 4、已知:例 4、已知: 。22, 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 例 5、 (2009 龙岩)已知数 a,b,若例 5、 (2009 龙
6、岩)已知数 a,b,若 2 ()ab=ba,则 (B )=ba,则 (B ) A. ab B. ab B. a0,b0 时,则:它运用如下性质:当 a0,b0 时,则: ; ; 1 a ab b 1 a ab b 例 8、比较与的大小。例 8、比较与的大小。5323 5、规律性问题 5、规律性问题 例 1. 观察下列各式及其验证过程:例 1. 观察下列各式及其验证过程: , 验证:, 验证:; 验证: 验证:. . 4 / 20 4 (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 4 4 15 的变形结果,并进 行验证; 的变形结果,并进
7、行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用 n(n2,且 n 是整数)表示的等式,并给 出验证过程. (2)针对上述各式反映的规律,写出用 n(n2,且 n 是整数)表示的等式,并给 出验证过程. 5 / 20 5 勾股定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a 勾股定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2 2bb2 2=c=c2 2。 2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2 2bb2 2=c=c2 2。 ,那么这个三角形是
8、直角。 ,那么这个三角形是直角 三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那 么另一个叫做它的逆命题。 (例:勾股定理与勾股定理逆定理) 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那 么另一个叫做它的逆命题。 (例:勾股定理与勾股定理逆定理) 4.直角三角形的性质 4.直角三角形的性质 (1) 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:C=90A+B=90 (1) 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:C=90A+B=90 (2)
9、、在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半。 (2) 、在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 A=30 可表示如下: BC=AB 可表示如下: BC=AB 2 1 C=90 C=90 (3) 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (3) 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 ACB=90 可表示如下: CD=AB=BD=AD 可表示如下: CD=AB=BD=AD 2 1 D 为 AB 的中点 D 为 AB 的中点 5、摄影定理5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的 摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和 斜边的
10、比例中项 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的 摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和 斜边的比例中项 ACB=90 ACB=90 BDADCD 2 ABADAC 2 CDAB CDAB ABBDBC 2 6、常用关系式6、常用关系式 由三角形面积公式可得:AB CD=AC BC由三角形面积公式可得:AB CD=AC BC 6 / 20 6 7、直角三角形的判定 7、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边
11、的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 有关系,那么这 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 有关系,那么这 222 cba 个三角形是直角三角形。个三角形是直角三角形。 8、命题、定理、证明 8、命题、定理、证明 1、命题的概念1、命题的概念 判断一件事情的语句,叫做命题。判断一件事情的语句,叫做命题。 理解:命题的定义包括两层含义:理解:命题的定义包括两层含义: (1)命题必须是个完整的句子;(1)命题必须是个完整的句子; (2)这个句子必须对某件事情做出判断。(2)这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类(按正确
12、、错误与否分)2、命题的分类(按正确、错误与否分) 真命题(正确的命题) 真命题(正确的命题) 命题命题 假命题(错误的命题) 假命题(错误的命题) 所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。 3、公理3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。 4、定理4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。用推理的方法判
13、断为正确的命题叫做定理。 5、证明5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 6、证明的一般步骤6、证明的一般步骤 (1)根据题意,画出图形。(1)根据题意,画出图形。 (2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。(2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。 (3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。 9、三角形中的中位线9、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 7 / 20 7 (1)三角形共有三条
14、中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。(2)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用:三角形中位线定理的作用: 位置关系:可以证明两条直线平行。位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系:可以证明线段的倍分关系。数量关系:可以证明线段的倍分关系。 常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有: 结论 1:三条
15、中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。结论 1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。 结论 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。结论 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 10 数学口诀.10 数学口诀. 平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相 混淆。 完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央 ; 首尾括号带平方,尾项符号随中央。 平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相 混淆。 完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央 ; 首尾括号带平方,尾项符号随中央。 四边形 四边形 1四边形的内角和与