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1、0 一圆的定义及相关概念一圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点 1：考点 1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它 的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点 2：考点 2： 确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点 3：考点 3： 弦 ： 连结圆上任意两点的线段叫做弦。 经过圆心的弦叫做直径。 直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）
2、弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如下图： 考点 4：考点 4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 1 考点 5考点 5 点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d， 则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr；点在圆上d=
3、r；点在圆内 dr； 【典型例题】 例 1 在ABC 中， ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线， 以点C为圆心， 以 为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。5 例 2已知，如图，CD 是直径，AE 交O 于 B，且 AB=OC，求A 的度数。84EOD 例 3 O 平面内一点 P 和O 上一点的距离最小为 3cm， 最大为 8cm， 则这圆的半径是 _cm。 例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是多 少？ 例 5 如图,O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE
4、=6cm，EB=2cm,， 30CEA 求 CD 的长 例 6.已知：O 的半径 0A=1，弦 AB、AC 的长分别为，求的度数3,2BAC AB D C O E M A BC D O E B A C 2 A C B D 例 7.如图，已知在中，AB=3cm，AC=4cm，以点 A 为圆心，AC 长为半ABC90A 径画弧交 CB 的延长线于点 D，求 CD 的长 例 8、 如图， 有一圆弧开桥拱， 拱的跨度 AB16cm， 拱高 CD4cm， 那么拱形的半径是m。 .思考题 如图所示,已知O 的半径为 10cm， P 是直径 AB 上一点,弦 CD 过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B
5、 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求 AE-BF 的值. 二垂径定理及其推论二垂径定理及其推论 【考点速览】 考点考点 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤 推论 1： 平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤 平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤 C B D A A B D C E P F O 3 推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等 垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对 的劣弧以上五点已知其中的任意两
6、点，都可以推得其它两点 【典型例题】 例 1 如图 AB、CD 是O 的弦，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且CNMAMN 求证：AB=CD 例 2 已知，不过圆心的直线 交O 于 C、D 两点，AB 是O 的直径，AE 于 E，BFlll 于 F。求证：CE=DF l 问题一图 1 O HF EDC B A l 问题一图 2 O HF E DC B A l 问题一图 3 O HFEDC BA 例 3 如图所示，O 的直径 AB15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑 动（点 C 与点 A，点 D 与 B 不重合） ，且 CECD 交 AB 于 E，DFCD 交 A
7、B 于 F。 （1）求证：AEBF （2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证 明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。 O A B CD E F m A B D C O NM 4 例 4 如图，在O 内，弦 CD 与直径 AB 交成角，若弦 CD 交直径 AB 于点 P，且O 0 45 半径为 1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由. 22 PDPC 例 5.如图所示，在O 中，弦 ABAC，弦 BDBA，AC、BD 交直径 MN 于 E、F.求证 ： ME=NF. 例 6.（思考题） 如图，与交于点 A， B， 过 A 的直
8、线分别交，于 M,N， C 1 o 2 o 1 o 2 o O A B D C E F M N 1 O A B 2 O M N C P AB C D P O 。. 5 为 MN 的中点，P 为的中点，求证：PA=PC. 21O O 三圆周角与圆心角三圆周角与圆心角 【考点速览】【考点速览】 考点 1考点 1 圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 圆周角圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可 Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由 6 考点 2考点 2 定理
9、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 Eg: 如下三图，请证明。 13.如图， 已知 A、 B、 C、 D 是O 上的四个点， ABBC， BD 交 AC 于点 E， 连接 CD、 AD （1）求证：DB 平分ADC； （2）若 BE3，ED6，求 AB 的长 14.如图所示， 已知 AB 为O 的直径， CD 是弦， 且 ABCD 于点 E 连接 AC、 OC、 BC （1）求证：ACO=BCD （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径 15.如图， 在 RtABC 中， ACB90， AC5， CB12， AD 是ABC 的角平分线， 过 A、 C、 D 三点的圆与
10、斜边 AB 交于点 E，连接 DE。 E D B A O C 7 （1）求证：ACAE； （2）求ACD 外接圆的半径。 16.已知 ： 如图等边内接于O， 点是劣弧上的一点 （端点除外） ， 延长至，ABCPBC BPD 使，连结BDAPCD （1）若过圆心，如图，请你判断是什么三角形？并说明理由APOPDC （2）若不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？APOPDC 四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 【考点速览】【考点速览】 圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对
11、的弦的弦心距相等 A C B D E A O C D P B 图 A O C D P B 图 8 推论：推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中）（务必注意前提为：在同圆或等圆中） 例1 如图所示， 点O是EPF的平分线上一点， 以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、 B 和 C、D，求证：AB=CD 例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。 求证：PA=PC。 A B E F O O P O C O 1 O 2 O D O 9 例 3如图
12、所示，在中，A=，O 截的三条边长所得的三条弦等长，ABC72ABC 求BOC. 例 4如图，O 的弦 CB、ED 的延长线交于点 A，且 BC=DE求证：AC=AE 例 5如图所示，已知在O 中，弦 AB=CB，ABC=，ODAB 于 D，OEBC 于 E120 求证：是等边三角形ODE 例 6.如图所示，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 分别交 AB、AC 于点 D、E。 （1）试说明ODE 的形状； O A BC O C A E B D O AD E B C 10 A B C O DE （2）如图 2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。 例 7 弦
13、DFAC，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G. （1）求证：BEF 是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求 BF 的长. 例8已知 ： 如图，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。 求证：AE=BF=CD。 六会用切线，能证切线六会用切线，能证切线 考点速览：考点速览： A B C O D E A O B ED C G F 11 考点考点 1 直线与圆的位置关系 图形公共点个数d 与 r 的关系直线与圆的位置关系 0dr相离 1d=r相切 2dr相交 考点考点 2 切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线：经过半径外端并且垂直于这
14、条半径的直线是圆的切线。 符号语言 OA l 于 A， OA 为半径 l 为O 的切线 考点考点 3 判断直线是圆的切线的方法：判断直线是圆的切线的方法： 与圆只有一个交点的直线是圆的切线。 圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点 4考点 4 切线的性质定理： 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线
15、必经过圆心。 （请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直） 1、 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 O 在对角线 AC 上， 以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、 AC 分别交于点 E、F，且ACB=DCE l A O 12 (1)判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若 AB=3,BC=4,DE=DC，求O 的半径 2.如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交 ABOOAD 半圆 于点，交于点使 OEACC，BEDC （1）判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论； ACO 3.如图，已知 R t
16、ABC， ABC90，以直角边 AB 为直径作 O， 交斜边 AC 于点 D，连结 BD （1）取 BC 的中点 E，连结 ED，试证明 ED 与O 相切 （2）在（1）的条件下，若 AB3，AC5，求 DE 的长； A CB D E O 4.如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线 交于点 P，AC=PC，COB=2PCB. F E O D C BA C A O B ED 13 （1）求证：PC 是O 的切线； （2）求证：BC=2 1 AB； 5.如图，在ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分BAD交BC于点E，点O 是AB上一点，O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F （1）求证：BC与O相切； （2）当BAC=120时，求EFG的度数 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上 一点， （1）若AED45试判断CD与O的关系，并说明理由 （2）
