初中数学全等三角形辅助线技巧（最新-编写）5285

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1、 例1：例1： 如图， ABC是等腰直角三角形， BAC=90， BD平分ABC交AC于点D， CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。 思路分析思路分析： 1）题意分析1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分 ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程解答过程： 证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中， 1=2，BE=BE，BEF=BEC=90， BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。 又1+F=3+F=9

2、0，故1=3。 在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90， ABDACF，BD=CF，BD=2CE。 解题后的思考：解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应 用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系， 为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化 归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的

3、思维模式是全等变换中的“旋转”。 例例 2： 如图， 已知 ABC 中， AD 是BAC 的平分线， AD 又是 BC 边上的中线。 求证 ： ABC 是等腰三角形。 思路分析思路分析： 1）题意分析1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件，而 且要求证 AB=AC，可倍长 AD 得全等三角形，从而问题得证。 解答过程：解答过程： 证明：延长证明：延长 AD 到到 E，使，使 DE=AD，连接，连接 BE。 又因

4、为又因为 AD 是是 BC 边上的中线，边上的中线，BD=DC 又又BDE=CDA BEDCAD， 故故 EB=AC，E=2， AD 是是BAC 的平分线的平分线 1=2， 1=E， AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。 解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将 端点连结，便可得到全等三角形。 解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将 端点连结，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对

5、折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。 例 3：已知，如图，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。 思路分析思路分析： 1）题意分析1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。 2）解题思路2）解题思路：因为 AC 是BAD 的平分线，所以可过点 C 作BAD 的两边的 垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。 解答过程解答过程： 证明：作 CEAB 于 E，CFAD 于 F。 AC 平分BAD， CE=CF。 在 RtCBE 和 RtCDF 中， CE=CF，CB=CD， RtCBERtCDF， B=CDF， CDF+ADC=180， B+A

6、DC=180。 解题后的思考：解题后的思考： 关于角平行线的问题，常用两种辅助线； 见中点即联想到中位线。 （4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” （4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例 4：例 4：如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交 BC 于 D，若 EB=CF。 求证：DE=DF。 思路分析思路分析： 1）题意分析1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2） 解题思路） 解题

7、思路 ： 因为 DE、 DF 所在的两个三角形 DEB 与 DFC 不可能全等， 又知 EB=CF， 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E 作 EG/CF，构造中心对称型全等三 角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。 解答过程：解答过程： 证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G， 则EGB=ACB， 又 AB=AC，B=ACB， B=EGB，EGD=DCF， EB=EG=CF， EDB=CDF，DGEDCF， DE=DF。 解题后的思考：解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法： 例 5：例 5： ABC 中， BAC=60， C=40， AP 平分BAC

8、交 BC 于 P， BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 思路分析思路分析： 1）题意分析1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路2）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通 过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。 可过O作BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。 解答过程解答过程： 证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D， ADO=ABC=1806040=80， 又AQO=C+QBC=80， ADO=

9、AQO， 又DAO=QAO，OA=AO， ADOAQO， OD=OQ，AD=AQ， 又ODBP， PBO=DOB， 又PBO=DBO， DBO=DOB， BD=OD， 又BPA=C+PAC=70， BOP=OBA+BAO=70， BOP=BPO， BP=OB， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考：解题后的思考： （1） 本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ， 连 OD， 构造全等三角形， 即 “截长法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： 如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。 如图（5），过

10、 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 从而得以解决。 小结：小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全 等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构 造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行 线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构 造了全等三角形。 （5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 （5）截长法与补短法，

11、具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例 6：例 6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。 求证：CD=AD+BC。 思路分析：思路分析： 1）题意分析：1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”， 即在CD上截取CF=CB， 只要再证DF=DA即可， 这就转化为证明两线段相等的问题， 从而达到简化问题的目

12、的。 解答过程解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 FCEBCE（SAS）， 2=1。 又ADBC， ADC+BCD=180， DCE+CDE=90， 2+3=90，1+4=90， 3=4。 在FDE与ADE中， FDEADE（ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC。 。 试题答案试题答案 1、分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长法或补短法”来实现。 证明：过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图 1-2 RtADERtCD

13、F(HL)， DAE=DCF。 又BAD+DAE=180， BAD+DCF=180， 即BAD+BCD=180 2、分析：与 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们 成为邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构 造。 证明：过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图 2-2 RtAPERtCPD(SAS)， PAE=PCD 又BAP+PAE=180。 BAP+BCP=180 3、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。 证明：方法一（补短法） 延长AC到E，使DC=C

14、E，则CDECED，如图 3-2 AFDACD（SAS）， DF=DC，AFDACD。 又ACB2B， FDBB， FD=FB。 AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD。 4、证明：（方法一） 将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N， 在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE； 在BDM 中，MB+MDBD； 在CEN 中，CN+NECE； 由+得： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （方法二：图 4-2） 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF、GFC 和GDE 中有： AB+AFBD

15、+DG+GF GF+FCGE+CE DG+GEDE 由+得： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。 5、分析：要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而 由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 ACDEBD（SAS） BE=CA（全等三角形对应边相等） 在ABE 中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边） AB+AC2AD。 6、分析：欲证 AC=BF，只需证

16、AC、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含 有 AC、BF 的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有 AC、BF 的全等 三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两 条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段，所对的角相等即可。 思路一、 以三角形 ADC 为基础三角形， 转移线段 AC， 使 AC、 BF 在三角形 BFH 中 方法一：延长 AD 到 H，使得 DH=AD，连结 BH，证明ADC 和HDB 全等， 得 AC=BH。 通过证明H=BFH，得到 BF=BH。 ADCHDB(SAS) AC=BH， H=HAC EA=EF HAE=AFE 又 BFH=AFE BH=BF BF=AC 方法二 ： 过 B 点作 BH 平行 AC， 与 AD 的延长线相交于点 H， 证明ADC 和HDB 全等即可。 小结 ： 对于