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1、数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 1 数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版）数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理第一章 勾股定理 1、勾股定理1、勾股定理-已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 222 cba 2、勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理-由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，那么这个三角形是直角三角形。 222 cba 3、勾股数、勾股数：满足的三个正整数 a，b，c，称为勾股数。 222 cba 常见的勾股数常见的勾股数有：（6,8,10） （3,4,5） （
2、5,12，,13） （9,12,15） （7,24,25） （9,40,41） 规律：规律：（1） 、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当 a 为奇数且 ab 时，如果，那么 a,b,c 就是一组勾股数. 2 bca 如：（3,4,5） （5,12，,13） （7,24,25） （9,40,41） （2）大于 2 的任意偶数，2n(n1)都可构成一组勾股数分别是： 22 2 ,1,1n nn 如：（6,8,10） （8,15,17） （10,24,26） 4、常见题型应用：4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/
3、周长/面积 （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上的高线/周长/面 积 （3）判定三角形形状：（3）判定三角形形状： 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 222 abc 222 abc 222 abc 判定直角三角形 a.找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 第二章 实数第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 2 2 0 2 00 00 2 2 3 3 . . 无理数的表示 算术平方根定义如果一个非负数 的平方等于 ，即 那么这个非负数 就叫做 的算
4、术平方根，记为， 算术平方根为非负数 平方根 正数的平方根有个，它们互为相反数 的平方根是 负数没有平方根 定义：如果一个数的平方等于 ，即，那么这个数就 叫做 的平方根，记为 立方根 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 的立方根是 定义：如果一个数 的立方等于 ，即，那么这个数 就叫做 的立方根，记为 xaxa xaa a axa aa xaxax aa 3 0 . 实数及其相关概念 概念有理数和无理数统称实数 分类 有理数 无理数或 正数 负数 绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 一、实数的概念及分
5、类 一、实数的概念及分类 1、实数的分类1、实数的分类 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 数有限小数与无限循环小 负有理数 正有理数 有理数 实数 0 负实数 正实数 实数 0 数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 3 2、无理数：2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等根号 a（a 为非完全平方数或非立方数） 。 3 2,7 （2）有特定意义的数，如圆周率 （=3.14159265)，或化简后含有 的数，如+8 等； 3 （3）有特定结构的数，如 0.1010010001；0.58588
6、5888588885(相邻两个 5 之间 8 的个数 逐次加 1 等； （4）某些三角函数值，如 sin60o等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ，从数 轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a= b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|0） 。零的绝对值是它本 身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。 3、倒数 如果
7、a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不 可） 。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 4 5、估算. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位； （2）要求记忆： 414 . 1 2 732 . 1 3 236 . 2 5 . 三、平方根、算数平方根和立方根 三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根和算术平方根： （1）概念：如果，那么是的平方根，记作：；
8、读作“正、负根号” ， 2 xaxaaa 其中叫做的算术平方根，读作根号。aaa （2）性质：当0 时，0； 当时，无意义；aaaa ； 。 （区分、）（区分、） 2 a a 2 aa 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （3）开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 注意 ：注意 ：的双重非负性：a 0 0 a a （开平方的被开方数的条件） （算术平方根的非负性） 2立方根： （1）概念：若，那么是的立方根（或三次方根） ，记作：； 3 xaxa 3 a （2）性质：； ； 33
9、 aa 3 3 aa 3 a 3 a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：注意：， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 33 aa 区分：区分：平方根、立方根的性质 根源：根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非 负数才可以开平方，因此一个非 0 正数开平方后有 2 个；而任何数的立方后的符号与原数的 符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有 1 个，符号与原数的符号也一 致。 四、实数大小的比较 四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上
10、的两个点所表示的数，右 边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表 数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 5 示的数大。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设 a、b 是实数， ,0baba,0babababa0 （3）求商比较法：设 a、b 是两正实数，;1;1;1ba b a ba b a ba b a （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则。baba （5）平方法平方法： 设 ，则 0,0ab 22 abab 设 ，则 。0,0abbaba 22 同号的有
11、理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。 如：比较 与；与 3 6 2 3.43 653 （6）倒数法倒数法：设 ，则；设 ，则0,0ab 11 ab ab 0,0ab 11 ab ab 规律：同号取倒（数）反向 规律：同号取倒（数）反向 五、算术平方根有关计算（二次根式）五、算术平方根有关计算（二次根式） 1、含有二次根号“” ； 被开方数必须是非负数，即：。a0aa 中 2、性质： （1）非负性0a （2） （中前提，被开方数）)0()( 2 aaa 2 a0a （3）（中隐含被开方数） aa 2 ,(0) ,(0) a a a a 2 a 2 0a （4）；（） （前提根
12、号要有意义）)0, 0(babaab)0, 0(baabba （5） ；（） （前提式子和根号要有意义， ）)0, 0(ba b a b a )0, 0(ba b a b a 数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 6 一一 一一 0 x y 拓展：拓展：三个重要非负数： .注意：注意：非负数之和为 0 它们都是 0. 2 0,0,0aaa 3、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被a 开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算 六、实数的运算 （1）六种运算：（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、 、开方 （2）（2）实数的运算顺序
13、先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3）运算律（3）运算律 加法交换律 abba 加法结合律 )()(cbacba 乘法交换律 baab 乘法结合律 )()(bcacab 乘法对加法的分配律 acabcba )( （4）（4）与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完 全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数， 即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 第三章 位置的确定第三章 位置的确定 一、 在平面
14、内，确定物体的位置一般需要两个数据。一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系 在平面内， 两条互相垂直且有公共原点的数轴， 组成平面直角坐标系。 其中， 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向 ； 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向 ； x 轴和 y 轴统称坐标轴。 它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第 数学 （八年级上册）知识点总结（北师大版） 7
15、0 x y P a b (+,-) (-,-) (-,+) (+,+) 0 x y B A C D x2 y2 x3 y3 y1 x1 x4 y4 0 x y A(x1,0) D(0,y4) B(0,y2) C(x3,0) 45 45 0 x y B A C D 0 x y FE G H 一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点） ，不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 a，b 分 别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点 P 的坐标。 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间 有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对， 当时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。ba 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 （1） 、各象限内点的坐标的特征 （结合图形，过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数在坐标轴的正, x y 向为正，负向为负） 点在第一象限 11 (,)A xy 11 0,0 xy 点在第二象限 22 (,)B xy 22 0,0 xy 点在第三象限 33 (,
