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1、六年级奥数专题：找规律六年级奥数专题：找规律 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数 表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某 一问题的规律，推导出该问题的计算公式。 例 1 求 99 边形的内角和。 分析与解：三角形的内角和等于 180，可是 99 边形的内角和怎样求呢？我们把问题 简化一下，先求四边形、五边形、六边形的内角和，找一找其中的规律。 如上图所示，将四边形 ABCD 分成两个三角形，每个三角形的内角和等于 180，所以 四边形的内角和等于 1802= 360；同理，将五边形 ABCDE 分成三个三角形，
2、得到五边 形的内角和等于 1803540；将六边形 ABCDEF 分成四个三角形，得到六边形的内角 和等于 1804720。 通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减 2。由此得到 多边形的内角和公式： n 边形的内角和=180（n-2） （n3） 。 有了这个公式，再求 99 边形的内角和就太容易了。 99 边形的内角和=180（99-2）17460。 例 2 四边形内有 10 个点， 以四边形的 4 个顶点和这 10 个点为三角形的顶点， 最多能剪 出多少个小三角形？ 分析与解：在 10 个点中任取一点 A，连结 A 与四边形的四个顶点，构成 4 个三角形。 再在剩
3、下的 9 个点中任取一点 B。如果 B 在某个三角形中，那么连结 B 与 B 所在的三角形的 三个顶点，此时三角形总数增加 2 个（见左下图） 。如果 B 在某两个三角形的公共边上，那 么连结 B 与 B 所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加 2 个（见右下图） 。 类似地，每增加一个点增加 2 个三角形。 所以，共可剪出三角形 4 2 9= 22（个） 。 如果将例 2 的“10 个点”改为 n 个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多 能剪出三角形 42（n-1）=2n2=2（n1） （个） 。 同学们都知道圆柱体， 如果将圆柱体的底面换成三角形， 那么便得到了三棱柱 （左下图）
4、 ； 同理可以得到四棱柱（下中图） ，五棱柱（右下图） 。 如果底面是正三角形、正四边形、正五边形那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱 柱、正五棱柱 例 3 n 棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对， 那么 n 棱柱共有多少对不相 交的棱？ 分析与解 ： n 棱柱的底面和顶面都是 n 边形， 每个 n 边形有 n 个顶点， 所以 n 棱柱共有 2n 个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每 条棱连接 2 个顶点，所以 n 棱柱共有棱 2n32=3n（条） 。 进一步观察可以发现，n 棱柱中每条棱都与 4 条棱相交，与其余的 3n4-1 =（3n5）
5、 条棱不相交。共有 3n 条棱，所以不相交的棱有 3n（3n- 5） （条） ，因为不相交的棱是成对 出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有 3n（3n-5）2（对） 。 例 4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用 100 条直线呢？ 分析与解：4 条直线时，我们可以试着画，100 条直线就不可能再画了，所以必须寻找 到规律。如下图所示，一个圆是 1 块；1 条直线将圆分为 2 块，即增加了 1 块；2 条直线时， 当 2 条直线不相交时，增加了 1 块，当 2 条直线相交时，增加了 2 块。由此看出，要想分成 的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。 再画第 3
6、条直线时，应当与前面 2 条直线都相交，这样又增加了 3 块（见左下图） ；画 第 4 条直线时，应当与前面 3 条直线都相交，这样又增加了 4 块（见右下图） 。所以 4 条直 线最多将一个圆分成 11234=11（块） 。 由上面的分析可以看出，画第 n 条直线时应当与前面已画的（n1）条直线都相交，此 时将增加 n 块。因为一开始的圆算 1 块，所以 n 条直线最多将圆分成 1（123n） =1n（n+1）2（块） 。 当 n=100 时，可分成 1100（1001）2=5051（块） 。 例 5 用 3 个三角形最多可以把平面分成几部分？10 个三角形呢？ 分析与解 ： 平面本身是 1
7、 部分。 一个三角形将平面分成三角形内、 外 2 部分， 即增加了 1 部分。 两个三角形不相交时将平面分成 3 部分， 相交时， 交点越多分成的部分越多 （见下图） 。 由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第 3 个三角形时，应使 每条边的交点尽量多。 对于每个三角形， 因为 1 条直线最多与三角形的两条边相交， 所以第 3 个三角形的每条边最多与前面 2 个三角形的各两条边相交， 共可产生 3 （22） = 12（个）交 点，即增加 12 部分。因此， 3 个三角形最多可以把平面分成 11612= 20（部分） 。 由上面的分析，当画第 n（n2）个三角形时，每条边最多
8、与前面已画的（n1）个三 角形的各两条边相交，共可产生交点 3（nl）2=6（n1） （个） ，能新增加 6（n1）部分。因为 1 个三角形时有 2 部分，所以 n 个三角形最多将平面分成的部分数是 2612（n1） 当 n=10 时，可分成 2310（101）=272（部分） 。 练习练习 1.求 12 边形的内角和。 2.五边形内有 8 个点。 以五边形的 5 个顶点和这 8 个点为三角形的顶点， 最多能剪出多 少个小三角形？ 3.已知 n 棱柱有 14 个顶点，那么，它有多少条棱？ 4.n 条直线最多有多少个交点？ 5.6 条直线与 2 个圆最多形成多少个交点？ 6.两个四边形最多把平面
9、分成几部分？ 练习答案： 1.1800。 2.19 个。 提示：与例 2 类似可得 5+2（8-1）=19（个） 。 3.21 条棱。提示：n 棱柱有 2n 个顶点，3n 条棱。 4.n（n-1）2。 解：1+2+3+（n-1）=n（n-1）2。 5.41 个。 解：6 条直线有交点 6（6-1）2=15（个） ，每条直线与两个圆各有 2 个交点，两个 圆之间有 2 个交点，共有交点 15+64+2=41（个） 。 6.10 部分。 提示：见右图。与例 5 类似，当画第 n（n2）个四边形时，每条边应与已画的（n-1） 个四边形的各 2 条边相交，共可产生交点 4（n-1）2=8（n-1） （个） ，新增加 8（n-1）部分。因为 1 个四边形有 2 部分， 所以 n 个四边形最多将平面分成 2+81+2+（n-1）=2+4n（n-1） （部分） 。
