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1、1,第七章 单因素方差分析 One-factor Analysis of Variance（ANOVA ),2,为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙和高剂量钙（1.5%）3种不同的饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？,表7.1 3种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值,学过的统计学知识进行检验?,3,因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”， a个处理组）,各重复n次。
2、,一. 方差分析基础,4,第一类错误的概率增大 a=0.05 (犯第一类错误的概率， 假阳性） 1-a=0.95 （不犯第一类错误的概率） 检验3次，不犯第一类错误的概率为：0.95 3 = 0.857375 犯第一类错误的概率为： 1-0.857375=0.142625 统计资料的浪费，检验准确性的降低,5,Analysis of Variance (ANOVA )由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以 F 命名，故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推断多个总体均数有无差异,方差分析基础,6,一. 方差分析的基础 二. 完全随机设计的单因素方差分析 三.
3、多个样本均数间的多重比较 四.方差分析的假定条件,7,因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”， a个处理组）,各重复n次。,一. 方差分析基础,8,1. 方差分析的基本思想,所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。,9,1.离均差=（x - ） 2.离均差之和= （x - ）= 0 3.离均差平方和 SS= （x - ）2,虽然离均差（deviation from average) 可以衡量变异程度，但是离均差之和为0，所以不是理想的指标,为了合
4、理地计算平均差异，用平方和的办法来消除离均差的正负号，离均差平方相加，得到平方和（SS），但是由于不同样本的观察值个数不同，所以离均差平方和也不是理想指标,将离均差平方和求平均数，称为样本方差(均方差 mean deviation, MD) ，目的是消除观察值个数的影响,样本均方开方，目的是使变异还原，即标准差（ Standard Deviation ）。,10,1. 方差分析的基本思想,所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。,一. 方差分析基础,总变异（Total variation, SS总）：全部测量值Yij与总均
5、数 间的差异 组间变异（ between group variation, SS组间）：各组的均数 与总均数 间的差异 组内变异（within group variation,SS组内)：每组的每个测量值Yij与该组均数 的差异,11,3. 三种“变异”的计算,总变异（total variation):所有测量值之间总的变异程度 包含了：处理效应和随机误差,组间变异（variation between groups):各组均数Yi的变异程度 包含了：处理效应和随机误差,12,组内变异（variation within groups): 各组均数Yij与其所在组的均数的变异程度 包含了：随机误差
6、,13,离均差平方和的分解,组间变异,总变异,组内变异,2.三种“变异”之间的关系,离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS ),SS总=SS组间+SS组内,V总=V组间+V组内,检验样本平均数之间的变异（方差）的大小,14,One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation,Variation Due to Treatment SSB,Variation Due to Random Sampling SSW,Total Variation SST,Commonly referred to as:
7、 Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation,Commonly referred to as: Sum of Squares Among, or Sum of Squares Between, or Sum of Squares Model, or Among Groups Variation,=,+,15,均方差，均方(mean square，MS) 变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和
8、除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方。,F 值与F 分布如果各组样本的总体均数相等（H0），即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方的比值称为F 统计量 F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F 值越大，拒绝H0的理由越充分。,16,F 分布曲线,数理统计的理论证明，当H0 成立时，F 统计量服从F分布,17,二. 完全随机设计的单因素方差分析,为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙和高剂量钙（1.5%）3种不同的高脂
9、饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？ 体重：观测变量 单因素 （one factor): 不同剂量的钙 (控制变量） 水平 （level）： 3个， 高中低 完全随机涉及： 36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组,18,19,方差分析的基本步骤,建立假设检验 确定检验水准,H1 : 3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同 a=0.05,20,21,方差分析的基本步骤,3.根据v1=v组间=2， v2=v组内=33， 在附表中无 v=33,在保守的原则下取不大于33且接近于33的数值，30，得F0.05(2,32)=3.316
10、, F0.01（2,32）=5.390，由F=31.36知 P0.01,按照P0.05水准，拒绝H0, 差异具有统计学意义，可以认为3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同。,建立假设检验 确定检验水准,计算 检验统计量,确定P值 作出推断,H1 : 3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同 a=0.05,22,三.平均值之间的多重比较,不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足 分析终止 拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？ 需要进一步作多重比较。,23,H0: i= j H1: i j 事先指定的两个组(i,j)
11、进行比较： 一类错误的概率为： 比较性错误率 （comparison-wise error rate, CER) 任意两组之间的比较： 一类错误的概率为：试验性错误率 (Experiment-wise error rate, EER) 避免应用t检验反复进行比较 避免没有任何生物学意义的反复比较,24,1.LSD-t test (least significant difference)法,联合估计的方差， 用MSE代替(所有组联合估计，比两个组的数据联合估计更好） MSE的自由度，临界值：t 0.05, N-a,适用于：事先指定的两个组进行比较,25,应用,解： 1.建立假设检验， 确定检验
12、水准 H0：A=B,即两对比组总体均数相等 H1：AB,即两对比组总体均数不等 =0.05 2.计算检验统计量,3.确定 P值，作出判断 按照=0.05水准，组次1与2比较，拒绝H0, 差别有统计学意义，喂养中等剂量钙9周后体重不同。,26,应用,解： 1.建立假设检验， 确定检验水准 H0：A=B,即两对比组总体均数相等 H1：AB,即两对比组总体均数不等 =0.05 2.计算检验统计量,3.确定 P值，作出判断 按照=0.05水准，组次1与3比较，拒绝H0, 差别有统计学意义，喂养高等剂量钙9周后体重不同。,27,2. SNK(student-Newman-Keuls) SNK q tes
13、t,根据q值的抽样分布作出统计推论。 1将各组的平均值按由大到小的顺序排列： 顺序(1)(2)(3) 平均值YBYCYA 原组号BCA 2. 计算两个平均值之间的差值及组间跨度a 3. 计算统计量q 值 4. 根据计算的q值及查附表得到的q界值，作出统计推断。,28,应用,解： 1.建立假设检验， 确定检验水准 H0：A=B,即两对比组总体均数相等 H0：AB,即两对比组总体均数不等 a=0.05 2.计算检验统计量 首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次,3.确定 P值，作出判断 按照a=0.05水准，组次1与2、1与3比较均拒绝H0, 差别有统计学意义，喂养9周后体重差值不同。组次2与3
14、不拒绝H0, 差别无统计学意义，喂养9周后体重差值相同。,29,30,31,2. 其他方法：Bonferroni法，Dunnett 法等 (了解， 自学）,Bonferroni方法 采用/c 作为下结论时所采用的检验水准。c 为两两比较次数， 为累积I类错误的概率。,适用性,当比较次数不多时，Bonferroni法的效果较好。 但当比较次数较多(例如在10次以上)时，则由于其检验水准选择得过低，结论偏于保守，犯假阳性几率低。,32,应用,解： 1.建立假设检验， 确定检验水准 H0：A=B,即两对比组总体均数相等 H0：A=B,即两对比组总体均数不等 =0.05, =0.0167 2.计算检验
15、统计量 首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次,3.确定 P值，作出判断 按照=0.05水准，组次1与2、1与3比较均拒绝H0, 差别有统计学意义，喂养9周后体重差值不同。组次2与3不拒绝H0, 差别无统计学意义，喂养9周后体重差值相同。,33,34,一般不鼓励 ！ 没有预先计划的任意两组之间的比较 翻来覆去的比较，寻找有意义的结果,两两比较 预先规定的两两比较 （LSD） Post hoc 两两比较 （SNK） 两两比较的 Bonferroni比较,35,四. 方差分析的假定条件,1.正态性: 各处理组样本是相互独立的随机样本, 其总体服从正态分布；（专业知识) 2. 方差齐性（Bartl
16、ett 检验法）: 相互比较的各处理组样本的总体方差相等 即具有方差齐同（homogeneity of variance） 上述条件与两均数比较的t 检验的应用条件相同。,最大方差与最小方差之比大于2.5,考虑方差齐性检验,36,Bartlett 检验法:仅仅适用于正态分布,37,Lavene 检验法: 适用于正态分布和非正态分布 适用于两个以及多个样本 SAS,SPSS统计学软件的默认方法,38,3. 数据变换 改善数据的正态性或方差齐性。使之满足方差分析的假定条件 平方根反正弦变换适用于二项分布率（比例）数据。 2. 平方根变换适用于泊松分布的计数资料 3. 对数变换适用于对数正态分布资料 数值为负，加上a值，再取对数）,39,18例已型脑炎患者随机分成3组,分别接受A, B, C三种不同的处理， 记录发热的天数， 问三种处理的平均效应是否相同,40,41,一.
