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1、第九章 非线性控制系统,第一节 非线性系统述 第二节 描述函数法 第三节 相平面法,第一节 非线性系统概述,1. 何谓线性系统？ 静态特性：输入和输出成比例 动态特性：可应用叠加原理 y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3) y=f(kx)=kf(x) 2. 何谓非线性系统？ 静态特性：输入和输出不成比例 动态特性：不可应用叠加原理,x,y,x,y,3.线性系统与非线性系统的关系,实际系统总含非线性环节，所以是非线性系统。 但在小信号范围内可线性化为线性系统来分析。,4.非线性系统的特征,(1)输出响应与输入信号大小和系统初态有关,4.非线性系统的特征,(2)系统稳定性与输入信号大小和系统
2、初态有关,(3)会产生自激振荡,4.非线性系统的特征,(4)可能产生跳跃谐振,(5)会产生波形畸变,振幅,非线性系统,频率,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,(1)饱和特性 Kx |x|a y = Ka xa -Ka x-a 在饱和区，增益减小，振荡减弱，稳态误差增大。 在线性区发散振荡的系统，到饱和区将转为等幅振荡。,(2)死区特性 数学表达式 0 |x|a y = K(x - a sign x) |x|a sign x = 1 x0 -1 x0,x,y,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,特性曲线,对系统性能的影响 直接造成稳态误差 会使振荡减弱，因处于死区时，相当于信号断开。 滤去
3、小幅干扰，提高系统抗干扰能力。 跟踪斜坡信号时有时间滞后。,x,y,a,K,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,(3)滞环特性 K(x-a sign x) |x|0 y = 不变 x=0,x,y,对系统性能的影响 增大稳态误差 使波形失真 稳定裕量减小，振荡加剧,动态特性变坏,5.典型非线性元件及对系统性能的影响,(4)继电特性 ym x0+ y = -ym x0-,x,y,对系统性能的影响 增大稳态误差 造成自振荡 稳定性减弱,ym,-ym,6.非线性控制系统的分析方法,以上为粗略定性分析. 由于非线性系统建模困难,解方程更难,所以至今 没有精确和统一的分析方法. 下面介绍的三种常用方 法
4、也不完善的. (1)描述函数法 用一次谐波代替非正弦波, 只是近似分析 适用于周期信号,不适用非周期信号 (2)相平面法 用相平面图研究非线性系统的动态特性,只适 用于二阶系统. (3)李雅普诺夫第二方法(直接法) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.,第二节 描述函数法,本节内容 1。描述函数定义 2。典型非线性元件的描述函数 3。用描述函数法研究非线性系统 描述函数法是线性系统理论中频率法在非线性系统中的应用。主要用来分析非线性系统的稳定性及正弦输入下的输出特性。适用于任意阶非线性系统。,1.非线性系统的描述函数定义,系统框图 假设条件 (1) 正弦输入 x1(t)=Asi
5、nt (2)非储能元件 无动态特性,无惯性,不是时间的函数 (3)特性斜对称 f(-x1)=-f(x1) (4) 其线性部分具有较好的低通滤波性能,N,x1,x2,x2,x1,1.非线性系统的描述函数定义,描述函数推导 输入： x1(t)=Asint 稳态输出（付立叶级数表示）： 分析：因斜对称性 A0=0 据付立叶分析,1.非线性系统的描述函数定义,分析：因低通滤斜波特性，k1, Ak=Bk=0 于是有,用正弦量的矢量表示法有 X1(A,)=A X2(A,)=C1e j1,1.非线性系统的描述函数定义,描述函数定义式：,由于假设非线性系统是非储能元件,所以可只考虑 A, 不顾, 于是 N(A
6、,)=N(A),描述函数定义陈述： 非线性系统的描述函数为输出基波分量 与输入信号之比,2. 典型非线性元件的描述函数,(1)饱和特性的描述函数法,x1,x2,x2,x1,-a,a,K,-,-,t,t,2. 典型非线性元件的描述函数,(1)饱和特性的描述函数法 当Aa, KA sin t 0 t x2(t) = Ka t - KA sin t - t A sin =a = sin-1(a/A),2. 典型非线性元件的描述函数,(1)饱和特性的描述函数法,2. 典型非线性元件的描述函数,(1)饱和特性的描述函数,K,N(A)=,Aa,Aa,(2) 死区特性的描述函数,0,N(A)=,Aa,Aa,
7、2. 典型非线性元件的描述函数,(3)滞环特性的描述函数,0,N(A)=,Aa,Aa,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(1) 非线性控制系统 (2) 闭环频率特性 (3) 闭环特征方程,N(A),G0(s),R,Y,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(4) 稳定性分析 当G(j)=-1/N(A) 时,产生临界振荡. 线性系统的临 界点为(-1,j0), 而在非线性系统中有一条临界曲线为 -1/N(A). )稳定系统 相角裕量 幅值裕量 20lg(oN/oG),-1 N(A),A0,G0(j),o,N,G,Im,Re,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(4) 稳定性分析 )不稳定系统,-
8、1 N(A),G0(j),o,Im,Re,)自激振荡,-1 N(A),G0(j),o,Im,Re,(A0,0),注：并非所有的交点都产生自振荡,3.用描述函数法研究非线性控制系统,(4) 稳定性分析 )稳定自振荡的确定,-1 N(A),G0(j),o,Im,Re,Im,A,1,3,2,6,5,4,取点1，2，3，4，5，6， 分析： 13 不稳A 6 4 12 稳 A 7 46 不稳A 4 45 稳 A 4 结论：4点为稳定的自振荡点 1点为不稳定的自振荡点 推论：由右向左穿越G0(j)线的点是稳定的自振荡点,7,3.用描述函数法研究非线性控制系统,例 9.1 设非线性元件具有滞环继电特性(a
9、/x2m=0.5), 试分析系统稳定性, 并判断是否存在稳定的自振荡.,R(s),Y(s),-,a,-a,x2m,320,s(s+4)(s+8),3.用描述函数法研究非线性控制系统,解: 查非线性元件描述函数表知具有滞环继电特性 (a/x2m=0.5)的描述函数为,3.用描述函数法研究非线性控制系统,解:(续),可见-1/N(A)轨迹为一条与实轴平行的直线 而G0(j)为,3.用描述函数法研究非线性控制系统,解:(续),G0(j)与-1/N(A)相交于P点, 经分析P点为稳定的自振 点. 令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振角频率 p=4.2 rad/s. 令G0(j)与-1/N
10、(A)的实部相等,可解得谐振 点输入信号幅值Ap=3.7a或1.85x2m,3.用描述函数法研究非线性控制系统,-1 N(A),G0(j),o,Im,Re,-1.0,3,5,4,P,第三节 相平面法,本节内容 1。基本概念 2。相平面图的绘制 3。由相平面图求系统的过渡过程 4。奇点和极限环,1. 基本概念,非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在 二维空间下的应用， 它是一种用图解法求解二阶非 线性控制系统的精确方法。 它不仅能给出系统的稳 定性和动态性能信息，还能给出系统运行轨迹的清 晰图象。,二阶系统的微分方程表达,a1，a0为常数时表达线性定常系统。 a1，a0不为常数时表达非线性系
11、统。,1. 基本概念,二阶系统的状态方程表达 令x1=x，x2=x1, 有,.,相平面(状态平面,x-x平面),.,相平面图(相轨迹构成的图),相平面法: 相平面图的绘制和分析 特点: 只限于二阶线性或非线性系统 可用于严重非线性场合(描述函数不够用) 可用于非周期信号输入,x1,x2,2. 相平面图的绘制,.,常用三种方法: 解析法, 等倾线法, 法. 1) 解析法 当系统微分方程较简单时,可推导出相轨迹方程, 据相轨迹方程可绘制相平面图. 例如:,经积分推导可得相轨迹方程,为一圆方程, 据此可绘制相轨迹.,y n,.,y,2. 相平面图的绘制,2) 等倾线法 不用求解微分方程，适用于非线性
12、特性可用数学式表达的系统. 设,2. 相平面图的绘制,对于除平衡点的任一点 ， 和 为确定值。在平衡点， =0 为不定值。速 度和加速度均为零，无穷多组斜率的曲线可通过该点。 所以可设,表示相轨迹的斜率。 表示斜率相等。,被称为等倾线方程,2. 相平面图的绘制,等倾线方程是一个代数方程，易解。根据等倾线方程可的等倾线分布图，根据这个图可以绘出从初始状态 |t=0 出发的相轨迹曲线。 例9。2 试用等倾线法绘制二阶线性系统 的相平面图。 解：,2. 相平面图的绘制,根据等倾线方程令为若干具体数值，可得等倾线簇。当初始点A已定，则根据两等倾线间的平均斜率值可确定AB线段，进而可确定BC，CD，。,
13、=-1,=-1.4,=-2.5,=2,=-(1.4+1)/2=-1.2,=-0.4,=-1,x,x,.,A,B,C,2. 相平面图的绘制,例9。3 试用等倾线法绘制二阶非线性系统 的相平面图。 解：,x,x,.,2. 相平面图的绘制,3) 法 当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这时用法更好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴滑动的一系列圆弧的连续线。 设 ，要求单值并连续。变形为 令 选使值在选定小x，x范围内，不大不小，可看作常量。当在P1(x1, x1)点附近,.,.,2. 相平面图的绘制,C为积分常数, 可求得,2. 相平面图的绘制,这是一个圆方程, 圆心在
14、(1,0),半径为,进而可推得,2. 相平面图的绘制,以x为横轴, 以x/为纵轴, P1点附近的相轨迹可用小 段圆弧表示. 为得到1可用逐次逼近法.,.,x,x/,.,P1,(1,0),例9.4 已知,求起始于A1(1,0)点的相轨迹.,2. 相平面图的绘制,解: 取=1, 按 有,设 步距为0.2. 先取1=0, 以圆心(0,0),半径1,过A1点画圆弧, 交 =-0.2于A2 . A2的坐标为(-0.2,(1-0.22). 取A2和A1的 坐标平均值(xm,xm)代入求1,.,2. 相平面图的绘制,以圆心(0.12,0),半径1-0.12,过A1点再画圆弧, 交 =-0.2于A2 . 以同样方法可得A3,A4,1,0.12,0,A1,A2,A2,A3,A4,x,X,.,3. 由相平面图求系统的过渡过程,常用三种方法：增量法、积分法、圆弧法 1）增量法,3. 由相平面图求系统的过渡过程,x,t,x,x,x01,x12,x23,x34,x01,t01,t12,t23,t34,3. 由相平面图求系统的过渡过程,2）积分法,x,t,x,t01,t12,t23,t34,1/x,x0,3. 由相平面图求系统的过渡过程,3）圆弧法,x,t,x,t01,t12,
