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1、27.2.1常见圆中相似问题,1,第一部分 圆中的相似模型,母子型(尤其是直角三角形的母子型),2,如图,AB是 O的直径,点C在圆上,CDAB,DEBC,则图中与ABC相似的三角形的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,3,如图,A、B、C、D是O上的四个点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=3,ED=4, ACEBDE (2) ABEADB (2)求AB的长度,4,如图,AB是O的直径,点E是上的一点,DBC=BED,(1)求证:BC是O的切线;(2)已知AD=3,CD=2,求BC的长,5,如图,在ABC中,BA=BC,以AB为直径作O,交AC于点D,连接DB,过点D作D
2、EBC,垂足为E,(1)求证:DE为O的切线; (2)求证:DB2=AB * BE,6,第二部分 圆中辅助线,1.直径所对的圆周角是90度 2.有切线连切点和圆心,7,如图,直线 与半径为4的相切于 点 , 是 上 的一个动点(不与点 重合),过点 作 ,垂足为 ,连 接 。,设 , ,,则 的最大值是_,8,如图,在 中, ,以 为直径 的 交 于点 ,交 于点 。,(1)求证: 。 (2)若 , ,求 的长。,9,如图,以 的一边 直径的半圆与其它两 边 , 的交点分别为, ,且。,(1)试判断 的形状。 (2)已知半圆的半径为5, ,求AD的值。,10,如图, 是 的直径, 点在 上,,
3、的平分线交 于点 ,过点 作 的,垂线交 的延长线于点 ,连接 交 于点,(1)猜想 与 的位置关系,并证明你的猜想。 (2)若 , ,求 的长。,11,圆和相似三角形,12,圆与相似三角形综合题解题思路,对应角相等,对应边成比例,13,在O中,弦AB,CD相交于点P,连接AC.已知AC=2,BD=4,AP=1。,(1) 证明ACP DBP; (2) 求线段DP的长.,14,在O中,弦AB,CD相交于点P,点A为CD弧中点,连接AC,BD,AD,已知AP=2,BP=4.,(1) 证明ADP ABD (2) 求线段AD 的值,2,15,如图,已知AB是O的直径,点C是O上一点,连接AC,过点C作
4、CDAB于D点,E是AB上一点,直线CE与O相交于点F,连接AF与线段CD的延长线交于点G. (1)试说明:ACGAFC. (2)若AG=2,AF=6,求以AC为边的正方形面积.,16,17,18,在半径为r的O中,直径AB直径CD, P为弧BC上任意一点,PD 交AB于E点,PA 交CD于F点. 求证:(1) (2)四边形ADEF的面积为r2,圆结合三角形外角内角等知识 综合演绎找等角.,O,19,圆与相似三角形综合题解题思路,在圆中找到相等角的方法:,( 作辅助线构造) 同弧或等弧所对圆周角相等。,结合三角形外角内角等知识综合演绎。,直径配垂直。,20,练习1 如图,AD是ABC的高,AE
5、是ABC外接圆O的直径,且AC=5,AD=4,AB= 求圆的直径AE的长(改为求圆的面积呢),21,中考题解析,练习2,22,中考题解析,考查了圆周角定理、垂径定理 ,相似三角形的判定与性质,分析:(1)证明:如图A与B都是对弧CD的圆周角, A=B, 又1=2, ADEBCE;,23,中考题解析,考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质此题难度不大,注意数形结合思想的应用,2)证明:如图, AD2=AEAC, 又A=A,ADEACD, AED=ADC,又AC是O的直径, ADC=90,即AED=90, 直径ACBD,CD=CB,24,练习3ABC中,AB=AC,以AB为直径 的O交
6、BC于D,交AC于E。 若AB=6,CD=2,求CE的长。,A,B,C,D,O,图1,25,典型例题分析,圆与相似三角形综合题,证明:AB是O的直径, ACB=90, 又CDAB于D,BCD=A,A=F,F=BCD=BCG,在BCG和BFC中,BCGBFC,26,解:延长CG交O于点M,27,练习5 ABC内接于O,D是O 上一点,连结BD、CD、AC、BD,交 于点E。 (1)请找出图中的相似三角形,并加以证 明; (2)若D=45, BC=2,求O的 面积。,28,相似基本图形,1. 平行相似,2.两角相等,“A”字型,“X”字型,(1=C),(DEBC),平移,双垂图,角特殊化,特别注意
7、直角三角形的相似,29,中考题如图3,在RtABC中, C=90,点D是AC的中点,且A+CDB =90,过点A,D作O,使圆心O在AB上, O与AB交于点E (1)求证:直线BD与O相切; (2)若AD:AE=4:5,BC=6,求O的直径,分析:连接OD,由A=ADO, 进而得到ODB=90,直线BD 与O相切;连接DE,利用 ADEACB,进而得到 AC:AB=4:5,求出结果。,30,1.如图,已知O的两条弦AB、CD交于E,AE=BE=6,ED=4,则CE=_.,9,31,2、已知:如图,ABC内接于O, AD是O的直径,AEBC于点E, AB=6,AC=5,AE=4,求AD的长。,3
8、2,3、如图,ABC是O的内接三角 形,D是AC的中点,BD交AC于点E。 (1)CDE与BDC相似吗?为什么? (2)若DEDB=16,求DC的长。,D,33,练习1:如图,A、B、C、D是O上的四个点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=3,ED=4,则AB的长为_,34,练习2:如图,等边ABC中内接于圆O,D为弧AC上一点,CD的延长线与BA的延长线交于E,若AB=根号15,DE=2,则CD的长为,35,4.(2012黄冈)如图,在ABC中,BABC,以AB为直径作半圆O,交AC于点D连接DB,过点D作DEBC,垂足为点E (1)求证:DE为O的切线 (2)求证:DB2ABBE,36,
9、5.如图,AB是O的直径,C是O上一点,AD垂直于过点C的直线,垂足为D,且AC平分BAD (1)求证:CD是O的切线;(2)若AC2根号6,AD4,求AB的长,37,练习1(2012大连)如图,AB是O的直径,点C在O上,CAB的平分线交O于点D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,连接BC交AD于点F(1)猜想ED与O的位置关系,并证明你的猜想;(2)若AB=6,AD=5,求AF的长,38,练习2 如图,AB是O的直径,点C为O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交O于点D,直线EC交AB的延长线于点P, 连接AC,BC,PBPC12. (1)求证:AC平分BAD; (2
10、)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由; (3)若AD3,求ABC的面积.,39,练习3 如图,AB是半圆O的直径,点P在BA的延长线上,PD切O于点C,BDPD,垂足为D,连接BC(1)求证:BC平分PDB;(2)求证:BC2=ABBD;(3)若PA=6,PC=6根号2,求BD的长,40,6.如图,已知AB为O的直径,点C是O上一点(不与A、B重合),过点C作O的切线CD,过点A作CD的垂线,垂足是M点. 若AB=6,AM=4,求AC的长.,41,7已知:如图,AB为O的直径,弦ACOD, BD切于B,联结CD (1)判断CD是否为O的切线,若是请证明;若不是请说明理由 (2)若AC
11、=2,OD=6,求O的半径,42,8. 如图,AB为O的直径,AB=4,点C在O上, CFOC,且CF=BF. 求证:BF是O的切线; 设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6, 求AC的长;求M的大小;MCF的大小.,43,题型分类深度剖析,【例 1】(2014玉林)如图的O中,AB为直径,OCAB, 弦CD与OB交于点F,过点D、A分别作O的切线交于点 G,并与AB延长线交于点E. (1)求证:12. (2)已知:OFOB13,O的 半径为3,求AG的长,典例精析,44,题型分类深度剖析,【例 2】(2014咸宁)如图,已知AB是O的直径,直线CD 与O相切于点C,ADCD于点D. (1)
12、求证:AC平分DAB; (2)若点E为 的中点,AD ,AC8,求AB和CE的长,典例精析,45,题型分类对点训练,1. (2014荆门)如图,AB是半圆O的直径,D、E是半圆上任 意两点,连接AD、DE、AE与BD相交于点C,要使ADC与 ABD相似,可以添加一个条件下列添加的条件中错 误的是 () A. ACDDAB B. ADDE C. AD2BDCD D. ADABACBD,对点训练,46,题型分类对点训练,2. (2014内江)如图,RtABC中,ACB90,AC4, BC6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与 AC、BC相切于点D、E,则AD为 () A. 2.5 B. 1
13、.6 C. 1.5 D. 1,对点训练,47,题型分类对点训练,3. (2014绵阳)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点, OQBC于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于 点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是 (),对点训练,48,题型分类对点训练,4. (2014南宁)如图,ABC是等腰直角三角形,ACBC a,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点 E、F,与AB分别交于点G、H,且EH的延长线和CB的延长 线交于点D,则CD的长为_,对点训练,49,题型分类对点训练,6. (2014陕西)如图,O的半径为4,B是O外一点,连接 OB,且OB6,过点B
14、作O的切线BD,切点为D,延长BO 交O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为C. (1)求证:AD平分BAC; (2)求AC的长,对点训练,50,题型分类对点训练,7. (2014资阳)如图,AB是O的直径,过点A作O的切线 并在其上取一点C,连接OC交O于点D,BD的延长线交 AC于E,连接AD. (1)求证:CDECAD;,对点训练,51,题型分类对点训练,8. (2014宜昌)已知:如图,四边形ABCD为平行四边形,以 CD为直径作O,O与边BC相交于点F,O的切线DE与 边AB相交于点E,且AE3EB. (1)求证:ADECDF; (2)当CFFB12时,求O与平行四边形ABCD的面积 之比,对点训练,52,题型分类对点训练,9. (2014呼和浩特)如图,AB是O的直径,点C在O上,过 点C作O的切线CM. (1)求证:ACMABC; (2)延长BC到D,使BCCD,连接AD与CM交于点E,若O 的半径为3,ED2,求ACE的外接圆的半径,对点训练,53,构造相似图形间接求,已知相似图形直接求,相似基本图形的运用,学会从复杂图形中分解出基本图形,课堂小结,54,