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1、第五节 离散傅立叶变换(DFT)的性质,一、线性,1.两序列都是N点时 如果,则有：,2. 和 的长度N1和N2不等时，,选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。,这里包括三层意思： (1) 先将x(n)进行周期延拓 (2)再进行移位 (3)最后取主值序列：,二、序列的圆周移位,1.定义,一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为,由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列 : 。,2.
2、圆周移位的含义,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。,时域循环(圆周)移位定理,频域循环(圆周)移位定理,三、共轭对称性,1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量,同样，有,周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为:,2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量,由于,所以,这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。,有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为:,3.共轭对称特性之一,证明：,4.共轭对称特性之二,证明：,可知：,5.共轭对称特性之三,证明：,6.共轭对称特性之四,证明：,7.共轭对称特性之五、六,
3、8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性,9.实、虚序列的对称特性,当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k) 又据Xep(k)的对称性：,当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k) 又据Xop(k)的对称性：,总结：共轭对称性,纯虚序列的共轭对称性,实数序列的共轭对称性,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次 N点DFT运算来计算它们各自的DFT:,例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的4点DFT。,例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (
4、n-3) 的8点DFT。,四、圆周卷积和,1.时域卷积定理 设x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且有： 和,如果：,则：,圆周卷积过程： 1）补零(当两序列不等长时) 2）周期延拓(有限长序列变周期序列) 3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶) 4）圆周移位 5）相乘相加,例：求下面两序列的6点圆周(循环)卷积。,1）补零 补到6点,2)周期延拓 N=6,2)周期延拓 N=6,3）翻褶，取主值序列,y(0)=1*1+3*1=4,y(1)=2*1+1*1=3,y(2)=3*1+2*1+1*1=6,y(3)=3*1+2*1+1*1=6,y(4)=3*1+2*1+1*1=6,y(5)=
5、3*1+2*1=5,4）圆周移位 5）相乘相加,的长度为 的长度为,五、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,1.线性卷积,它们线性卷积为,的非零区间为 的非零区间为,两不等式相加得,这也就是 不为零的区间,x1(n)的长度为N1, x2(n) 的长度为N2 ,现构造长度均 为L长的序列, 即将 x1(n) 和x2(n)补零点;然后再对它 们进行周期延拓 ，得到：,2.用圆周卷积计算线性卷积,圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.,计算周期卷积：,圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.,可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为L。由于 有 个非零值,所以周期L必须满足:,又由于圆周卷
6、积是周期卷积的主值序列，所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：,例：求下面两序列的线性卷积和4点、5点、6点、7点圆周卷积。,(1) 线性卷积 L= N1+ N2-1=5+3-1=7,(2) 4点圆周卷积 主值区间：0n3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以4为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得4点圆周卷积结果。,x(0) = 6+1=7,x(1) = 5+3=8,x(2) = 3+6=9,x(3) = 6,(3) 5点圆周卷积 主值区间：0n4,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3
7、6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以5为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得5点圆周卷积结果。,x(0) = 5+1=6,x(1) = 3+3=6,x(2) = 6,x(3) = 6,x(4) = 6,(4) 6点圆周卷积 主值区间：0n5,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以6为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得6点圆周卷积结果。,x(0) = 3+1=4,x(1) = 3,x(2) = 6,x(3) = 6,x(4) = 6,x(5) = 5,(5) 7点圆周卷积 主值区间：0n6,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,1 3 6 6 6 5 3,将线性卷积的结果以7为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得7点圆周卷积结果。,z变换法,DFT法,LN1+N2-1,小结：线性卷积求解方法,时域直接求解,
