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1、一、什么是正弦稳态电路,动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制响应组成的。在正弦激励下，动态电路的固有响应是随时间的增长而衰减的，经过一段时间后，固有响应将趋于零。这时电路的完全响应则由强制响应，也即稳态响应决定。在正弦激励下，处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电路。,第6章 正弦稳态电路分析,二、研究正弦稳态电路的意义,正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用电路中使用广泛。,复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电路响应。,三、正弦稳态电路的分析方法,采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路中应用的公式、定
2、理均可以运用于正弦稳态电路。,6-1 正弦量,6-2 正弦量的相量表示法,6-3 正弦稳态电路的相量模型,6-4 正弦稳态电路的相量分析法,6-5 正弦稳态电路的功率,本章的主要内容,6-6 三相电路,6-1 正 弦 量,6-1-1 正弦量的三要素,正弦电压的瞬时值可表示为：,可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前 为负时，最大值发生在计时时刻之后,规定 的取值范围为：,6-1-2 正弦量的相位差,在同一正弦稳态电路中，任意电量都是同频的正弦量，因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同。为了衡量各正弦电压和电流间变化进程之间的差别，即两个同频正弦量之间的相位关系，引入“相位差”的概念。,相
3、位差定义为：,同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与时间无关的常数,比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数 （2）两正弦量必须具有相同的频率 （3）初相位要小于,6-1-3 正弦量的有效值,在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应，这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表示。,当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗的电能量为,直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为,如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即,则将电流I 定义为周期电流信号 的有效值。,当周期电
4、流为正弦电流时,代入上式，可得正弦电流的有效值I为,正弦电流也可表示为,同理可得正弦电压u（t）的有效值为,有效值在工程中应用十分广泛。大部分使用于50HZ的交流电表测读的都是有效值。交流电机和电器铭牌上所标注的额定电压或电流都是指有效值。通常所说的民用交流电的电压220V，指的就是电压的有效值。,6-2 正弦量的相量表示法,正弦稳态电路中，电路中各支路的稳态响应是与激励同频率的正弦量。激励的频率通常是已知的，因此要求响应，只要确定它们的振幅和初相这两个量就行了,正弦量为什么要用相量表示？,相量表示法就是用复数来表示正弦量的振幅和初相，将描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程，而这些方程在形
5、式上又与直流电路的方程相类似，从而大大简化了正弦稳态响应的分析与计算。,6-2-1 复 数,一复数的概念,一个复数 A 有四种数学表达形式：,复数在复平面上用矢量表示,二复数运算规则,复数的加、减运算,复数的乘、除运算,三、复数运算定理,定理1 若为a实数，A(t)为任意实变量的复值函数。则有,定理2 若A(t)和B(t)为任意实变量的复值函数。则有,定理3 若A为复数,其极坐标形式为 。则有,6-2-2 正弦量的相量表示法,正弦电压,复指数函数,比较上两式可得,有效值相量,振幅相量,两相量之间的关系,引入相量后，正弦电压又可表示为,引入旋转相量后，上式对应的几何意义是一个正弦量在任何时刻的瞬
6、时值，等于对应的旋转相量同一时刻在实轴上的投影，如图所示。,称为旋转相量,注意： （1）正弦量与相量仅为对应关系，并非相等关系， （2）正弦量的时间函数表达式称为正弦量的时域表示，相量表示形式称为正弦量的相量表示或频域表示。,解：对应相量的为,对应相量的为,例6-3 已知正弦电压相量为 ，频率 ，试写出对应正弦量的时域表示形式。,解：正弦波对应角频率,对应正弦相量的极坐标形式为：,对应时域表示形式为：,6-3 正弦稳态电路的相量模型,6-3-1 基尔霍夫定律的相量形式,基尔霍夫电流定律在时域内可表示为,若 为正弦波，则有,同理，可得KVL的相量形式为,解：由 的时域形式，得：,由KCL的相量形
7、式，得：,相量图如图所示,由相量表示，得其瞬态表示：,6-3-2 R、L、C元件伏安关系的相量形式,一电阻元件,因为,所以,由,电阻元件的相量模型为：,二电容元件,电容元件的时域伏安关系：,电容元件伏安关系的相量形式,电容的容抗,电容的容纳,由 可 得,三电感元件,电感元件的时域伏安关系：,由上式可得,电感的感抗和感纳,例6-6 电路如图示，已知,R=15，C=83.3F,L=30mH,求电流I.,u(t),R,C,L,iR,iC,iL,i,解：利用KCL相量关系，有：,例6-7 如图所示电路，电流表示数分别为A1读数10A、A2读数10A，试求A的读数。,解法1：假定R与C两端的电压为,由A
8、1读数为10A，故,对C支路，有,由A2读数为10A，故,由KCL的相量形式，有,故A的读数为,解法2：用相量图求解,6-3-3 阻抗与导纳,阻抗与导纳的定义,由以上定义可得，电阻、电感、电容的阻抗分别为,对一般无源网络有,阻抗的电阻分量,阻抗的电抗分量,阻抗的模,阻抗角,当X 0时,Z 0, 网络呈感性,当X 0时,Z 0, 网络呈容性,当X = 0时,Z = 0, 网络呈电阻性,即无源网络可等效为一个电阻和电抗串联,同理,一个无源网络的导纳可表示为,电导分量,电纳分量,即无源网络可等效为一个电导和电纳并联,综上所述，正弦稳态的无源二端网络，可等效为电阻和电抗的串联电路，也可等效为电导和电纳
9、的并联电路。对于同一个二端网络，两者之间有如下关系：,解：由二端网络输入阻抗的定义有：,由于电抗X是角频率的函数,因此，在不同频率下，电路会呈现出不同性质：,当 时,电路可等效为一个阻值为R的纯电阻,当 时,电路可等效为一个R和L组成的串联电路,当 时,电路可等效为一个R和C组成的串联电路,6-3-4 正弦稳态电路的相量模型,将电路中各元件分别用其阻抗（或导纳）表示,将电路各支路电压，电流都用对应相量形式表示，参考方向仍与原电路相同。,6-4 正弦稳态电路的相量分析法,电阻电路的KCL，KVL和伏安关系为：,正弦稳态电路的KCL、KVL和伏安关系的相量形式为：,因为两者在形式上完全相同，电阻电
10、路的各个定律、定理和和分析方法可完全推广到正弦稳态电路的相量模型中。,应用相量法分析正弦稳态电路的步骤为： （1）将时域模型转换为相量模型； （2）利用与分析电阻电路相同的方法，列出对应复代 数方程； （3）求解对应响应的相量； （4）将响应的相量变换为正弦量。,例6-12 电路如图所示。已知 试用网孔分析法求,解：（1）画相量模型,V,（2）设网孔电流为 ，列网孔方程,（3）求解方程,（4）求瞬时值,解：（1）对应相量模型如下图所示。,（2）对如图所示相量模型进行等效变换,（3）将电流源替换为电压流,回路电流,对应的瞬时值为,解：（1）对应相量模型如图（b）所示，其中,（2）求开路电压,（3
11、）求等效电阻Z0,由上式可得等效阻抗,用相量法分析正弦稳态电路时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理均可推广使用，差别仅在于所用电路模型为相量模型，电路方程均为相量形式。,6-5 正弦稳态电路的功率,本节首先讨论正弦稳态电路中二端网络的功率，并引入有功功率，无功功率等概念，然后讨论正弦稳态电路中的最大功率传输问题。,6-5-1 二端网络的功率,则网络N吸收的瞬时功率,令 ，则有,由上式可知：网络N吸收的瞬时功率由恒定分量和正弦分量两部分组成，其中正弦分量的频率是电压或电流频率的两倍。,的波形如图所示,由于电压和电流不一定同相，造成 时正时负。但由于网络N存在电阻元件，网络N总体上是耗能的，所
12、以大于零的部分大于小于零的部分。,一、平均功率P (有功功率),二、功率因数,因为 , 所以P恒大于等于0，所以有功功率P代表二端网络N实际消耗的功率，它就是瞬时功率的恒定分量。它不仅与电压和电流的有效值乘积有关，且与它们的相位差有关。,当 0 时(电流滞后电压)，在后注明“滞后”。,三、视在功率S,引入了视在功率的概念，功率因数又可表示为,是阻抗角,也称为功率因数角,视在功率不等于负载实际获得的功率，但它可以表示电气设备的容量。任何电器设备出厂时，都规定了额定电压和额定电流。因而视在功率也有一个额定值。,对于电阻性电器设备，例如灯泡、电烙铁等，功率因数等于1，视在功率和平均功率在数值上相等，
13、因此额定功率以平均功率的形式给出,对于发电机、变压器这类电器设备，它们的输出功率与负载性质有关，只能给出额定的视在功率。,在视在功率一定的条件下，只有提高功率因数，才能充分发挥电气设备的潜力。,四、功率因数的提高,五、无功功率Q,无功功率的单位用乏（Var，无功伏安）,六、不同性质二端网络的功率,1. 纯电阻二端网络,说明电阻一直在从外电路吸收能量而没有能量的交换。,2. 纯电感二端网络,p正负交替变化，说明有能量的来回交换,瞬时功率,平均功率,有功功率,p正负交替变化，说明有能量的来回交换,4. 一般二端网络,电阻R吸收的平均功率,二端网络吸收的平均功率等于其等效阻抗中电阻分量吸收的平均功率
14、。,等效阻抗中电抗X吸收的瞬时功率为,电抗X吸收的平均功率,电抗不消耗能量，只与外电路进行能量交换能量，交换的幅值就是二端网络的无功功率的值。可见无功功率反映了二端网络中电抗分量与外电源能量交换的程度。,解法一：,解：电路相量模型如图所示。,u（t）提供的平均功率为,解法二：,解：用网孔分析法求解,解得,因为电源提供的平均功率等于网络内部电阻消耗的平均功率的总和,所以有,6-5-2 最大功率传输条件,N,含源二端网络N可用戴维南等效,如图所示,设,则负载电流,故负载吸收的平均功率为,上式中， 为变量，令,得,综上所述,负载获得最大功率的条件为:ZL与ZO共轭匹配,即,负载可从信号源获得最大功率
15、为,如果负载是纯电阻。如何选择负载电阻使之获得最大功率呢?,这种情况下电路中的电流为,负载电阻获得的功率为,上式表明，当负载电阻的值为等效阻抗的模时，负载可获得最大功率，称为负载的模匹配。 模匹配比共轭匹配所获得的功率要小。,解：（1）求戴维南等效电路,（a）求开路电压,(c),（b）求等效阻抗ZO,根据最大功率匹配条件，当,时能够获得最大功率。其最大功率为,电路中的电流,RL吸收的功率为,6-6 三相电路,三相电路是特殊形式的正弦稳态电路，是由三相电源和三相负载组成的电路整体。由于在发电、输电、供电方面比较经济，因而在电力系统中得到了广泛的应用,6-6-1 三相电源,三相电源是指能同时产生三个频率相同但相位不同的正弦电压的电源的总体。,对称三相电源是由三个频率、幅值相同，相位互差的正弦电压源按一定方式联接而成。,三相电源中的每一个电压源称为一相。电压源的正极性端A、B、C称为首端，负极性端X、Y、Z称为尾端,如果选择A相电压作为参考相量，则三相电压的瞬时值可表示为,相应的相量形式为,从相量图及波形图中可以看出，在任何瞬间对称三相电源电压的代数和等于零，即,uA ( t )+ uB ( t )+ uC( t )=0,一、三相电源的星形联接,三相电源有两种联接方式，即星形联接和三角形联接,相线（俗称火线
