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1、专题七：三爪型问题的转化与构图探究专题导入导例:如图1，将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDC 若点A ， D ， E在同一条直线上，ACB=20，则ADC的度数是（ ）.A.55B.60C.65D.70方法点睛题目中遇到公共端点的三爪图时，旋转是它的克星，通过旋转把分散的条件（线段或角）整合在一个三角形内解决.旋转时明确旋转中心和旋转角.因此，当我们再遇到类似问题时，首先考虑旋转来解决.问题：破解策略：共顶点引发的三条（多）条线段.1、辅助圆的方法2、旋转的方法当三条线段不等时或题目隐含等边时，遇多少度旋转多少度，构造手拉手模型（全等或相似）来解决问题.导例答案：C典例精讲类型一：辅助圆类例
2、1以ABC的边AB为底作等腰三角形OAB，且O=2C，AC与OB交于点D，若OB=a，OD=34a，则ADDC= . 【分析】由O=2C，且都对应了边AB，考虑到同弧所对圆周角为圆心角的一半，因此构造一个以O以圆心，OB为半径的一个圆，从而来解决问题.类型二:旋转全等类三爪图（由边导角，由角导边进行构造）例2 .在等边三角形ABC中，E是三角形内部一动点.（1） 若BEC=150，求AE，BE，CE三边的数量关系；（2） 若等边三角形的边长为2,且AE2=BE2+CE2，则E的运动路径是什么？并求其长度.【分析】（1）将BE绕点A顺时针旋转60到BE,可得BEE为等边三角形，ABECBE.从而
3、可得AE，BE，CE三边的数量关系（2）结合（1）中所得的结论，由AE2=BE2+CE2，可得CEE=90，BEC=150点E在圆周角为150的圆弧上运动，且圆弧所在圆的半径2，圆心角为60，从而弧BC的长为23.专题过关1.如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立； （2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变； （4）MN的长不变.其中正确的个数为（ ）.A.4 B.3 C.2 D.1 2如图，矩形ABCD中，AB23，BC6，P为矩形内一点，连接P
4、A，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）.A43+3B221C23+6D453如图，在等边ABC中，AC7，点P在ABC内部，且APC90，BPC120，直接写出APC的面积为 4.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，DE，若AE=2，BE=26，AED=135，则DE的长为多少？正方形ABD的面积为多少？5.如图，矩形ABCD中，AB=3BC，点P为矩形ABCD内一点，已知PAPC=21，求APB的度数？6如图，ABC是O的内接三角形，AC=BC，D为O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD（1）求证：AE=BD；（2）若ACBC，求证：AD+BD=2CD7.等腰
5、ABC中，AB=AC，BAC=120，点P为平面内一点（1）如图1，当点P在边BC上时，且满足APC=120，求BPCP的值；（2）如图2，当点P在ABC的外部，且满足APC+BPC=90，求证：BP=3AP；（3）如图3，点P满足APC=60，连接BP，若AP=1，PC=3，直接写出BP的长度8.（2019年十堰市）如图1，ABC中，CACB，ACB，D为ABC内一点，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上（1）填空：CDE（用含的代数式表示）；（2）如图2，若60，请补全图形，再过点C作CFAE于点F，然后探究线段CF，AE
6、，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若90，AC52，且点G满足AGB90，BG6，直接写出点C到AG的距离9如图，ABC与ADE都为等腰直角三角形，ABCADE90，连接BD，EC，且F为EC的中点（1）如图1，若D、A、C三点在同一直线上时，请判DF与BF的关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的ADE绕点A逆时针旋转m（0m90），请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断；（3）在（2）下，若DEF与BCF的面积之和于DBF的面积，请直接写出m的值专题十一：三爪图问题探究例1如下图构造辅助圆，由同弧所对圆周角相等，CDBCDA. CDCDDBDA.ADDC=CDDB=7
7、4a14a=716a2.例2.（1）将BE绕点A顺时针旋转60到BE,可得BEE为等边三角形，ABECBE.EEB=60，EE=BE，EC=AE,BEC=150，CEE=90,EEC为直角三角形，EC2= EE2+CE2.(2)由AE2=BE2+CE2，可得CEE=90，BEC=150，点E在以BC为弦,BC长为半径，圆周角为150的圆弧上运动，BC=2，BCD为等边三角形，CD=2，BDC=60，弧BC的长为23.专题过关1. B.2将BPC绕点C逆时针旋转60，得到EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求由旋转的性质可知：PFC是等边三角形，PCPFPBEF，PA+PB+PCPA+
8、PF+EF当A，P，F，E共线时，PA+PB+PC的值最小四边形ABCD是矩形，ABC90tanACBABBC33ACB30，AC2AB43BCE60，ACE90AE(43)2+62221.故选B来源:Zxxk.Com3将APB绕点A按逆时针方向旋转60，得到APC.APP是等边三角形.APCAPB36090120150，来源:Z+xx+k.ComPPAP，APPAPP60.PPC90，PPC30.PP32PC，即AP32PC.APC90，AP2+PC2AC2，即（32PC）2+PC272.PC27.AP21.SAPC12APPC73；故答案为734.遇90旋转90，将AE绕点A逆时针旋转90
9、，可得EAE是等腰直角三角形.ABEADE.EED=AEDAEE=90.在RtzEED中，EE=2AE=22，ED=BE=26，ED=32.S正方形ABCD=26.5.将PBC逆时针旋转90，并按13放缩，得到PBA，则PBCPBA（相似比13），由题意可设PA=22，PC=1，PA=3PC=23.显然在RtPBP中，PB=3PB=3，PP=2，PPB=60，由PP2+AP2=PA2，可得APP=90，APB=150来源:Z。xx。k.Com6（1）AC=BC，CAB=CBA.CBA=CDE，ACB=ECD.ACBACD=ECDACD.ACE=BCD在ACE和BCD中，CECD，ACE=BCD
10、，AC=BC，ACEBCD.AE=BD（2）AD+BD=2CD,证明：作CFCD，交DA的延长线于F.ACBC，AC=BC，O在AB上，CAB=CBA=45.CDA=CBA=45.F=180FCDCDA=45=CDA.CF=CD.FCD=ACB=90，FCA=BCD.在ACF和BCD中,ACBC，BCD=ACF，CF=CD，ACFBCD.BD=AF.AD+BD=AD+AF=DF.在DCF中，由勾股定理得：DF=CD2+CF2=2CD7.（1）如图1中，BAC=120，AB=AC，B=C=30.APC=120，PAC=C=30，PC=PA，PAB=90.PB=2PA.PB=2PC.BPCP=2；
11、（2）如图2，将线段AP绕点A顺时针旋转120得到线段AF，连接PF，BF，BF交PC于点HBAC=PAF=120，PAC=BAFAB=AC，AF=AP，ABFACP（SAS）APC=AFB设APC=，则AFB=，PFB=30+，BPC=90-PHB=HPF+PFH=（30-）+（30+）=60，PBH=180-（90-60）=30+来源:学。科。网PBF=PFBPB=PF在PAF中，易知PF=3PAPB=3PA（3）如图3-1中，当点P在ABC外部时，将线段AP绕点A顺时针旋转120得到线段AF，连接PF，BF则ABFACP（SAS）AFB=APC=60，BF=PC=3AFP=30，BFP=
12、90PA=AF=1，PAF=120，PF=3PB=32+(3)2=23如图3-2中，当点P在ABC内部时，将线段AP绕点A逆时针旋转120得到AH，连接PH，HC作HMPC于M则BAPCAH（SAS），PB=CHPAH+APC=120+60=180，AHPCAHP=HPM=30HM=12PH=32PM=3HM=32PC=3，CM=PM=32HMPC，HC=PH=3PB=3综上所述，满足条件的PB的值为23或38.（1）将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBEACDBCE，DCECDCECDE180-2故答案为180-2；（2）AEBE+233CF，理由如下：如图，将CAD绕点C按逆时针方向旋
13、转角60得到CBEACDBCEADBE，CDCE，DCE60CDE是等边三角形，且CFDEDFEF33 CFAEAD+DF+EF，AEBE+233CF ；（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CEAG于点E，ACB90，ACBC52，CABABC45，AB10来源:学&科&网Z&X&X&KACBAGB90，点C，点G，点B，点A四点共圆AGCABC45，且CEAGAGCECG45CEGEAB10，GB6，AGB90，AGAB2-BG28AC2AE2+CE2，（52）2（8CE）2+CE2CE7（不合题意舍去）或CE1若点G在AB的下方，过点C作CFAG，同理可得CF7点C到AG的距离为1或79（1）如图1中，结论：DFBF，DFBF
