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1、专题四：抛物线上的线段长问题的转化与探究专题导入导图：平面直角标中相应线段长的计算AM= , BM= ,AB= ,导例：如图，点A的坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CBx轴，且CACB若抛物线ya（x1）2+k经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为 方法点睛二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，或一般的斜线类线段在知识运过程中，相应坐标差来表示相应线段长，或由勾股定理依据两点间的距离公式来计算相应斜线段长的问题是基本的操作依据导图答案：y1-y2，x1-x2,(x1-x2)2+(y1-y2)2.导例答案：y33（x1）2+433.典例
2、精讲类型一：平行于y轴的线段长的问题例1如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MNy轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值【分析】（1）由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题类型二：可转化为线段长类的面积型问题例2如图
3、，抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OAOB），与y轴交于点C，且满足x12+x22x1x213 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点Q，使得SACQ2SAOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2m，x1x2（m+1），代入x12+x22x1x213，求出m12，m25根据OAOB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m2，即可确定抛物线的解析式；（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得SACQSACF由SACQ2SAOC，得出SACF
4、2SAOC，那么AF2OA2，F（1，0）利用待定系数法求出直线AC的解析式为y3x3根据ACFQ，可设直线FQ的解析式为y3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组y=x2-2x-3，y=-3x+3求解即可得出点Q的坐标来源:学科网ZXXK专题过关1如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为
5、一腰的等腰三角形时，求点P的坐标2如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C (1)求b，c的值；(2)如图，直线y=kx+1(k0)与抛物线在第一象限的部分交于点D，交y轴于点F，交线段BC于点E求DEEF的最大值；(3)如图，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB问:在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由3如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4矩形OADC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E （1）求抛物线
6、的解析式； （2）点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点，作PHEO，垂足为H，求PH的最大值； （3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M、N的坐标4如图所示，在平面直角坐标系中，M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（6，0），B（0，8）两点（1）请求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得SPDE115SABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5已知抛物线yx2+bx与
7、x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，2），顶点为M（1）求b的值及直线AC的解析式；（2）P是抛物线在x轴上方的一个动点，过P的直线yx+m与直线AC交于点D，与直线MC交于点E，连接MD，MP当m为何值时，MPPD？DE+DP的最大值是多少（直接写出结果）：6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0）（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；（2）如图1，直线x=2与x轴交于点N，与直线AD交于点G，点P是直线x=2上的一动点，当点P到直线AD的距离等于点P到x轴的距离时，求点P的坐标；（3）如图2，直线y=x+m经过点A，交y轴于点
8、C，在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得SCDA=2SACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由答案例1（1）将点B（3，0），C（0，3）代入抛物线yx2+bx+c中，来源:Z&xx&k.Com得：9+3b+c=0，c=3解得b=-4，c=3抛物线的解析式为yx24x+3（2）设点M的坐标为（m，m24m+3），设直线BC的解析式为ykx+3，把点B（3，0）代入ykx+3中，得03k+3，解得k1直线BC的解析式为yx+3MNy轴，点N的坐标为（m，m+3）抛物线的解析式为yx24x+3（x2）21，抛物线的对称轴为x2点（1，0）在抛物线的图象上1m3线段MNm+3（m24m+
9、3）m2+3m（m32）2+94，当m32时，线段MN取最大值，最大值为94例2（1）抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），x1+x2m，x1x2（m+1）x12+x22x1x213，（x1+x2）23x1x213m2+3（m+1）13，即m2+3m100解得m12，m25OAOB，抛物线的对称轴在y轴右侧m2抛物线的解析式为yx22x3；（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则SACQSACFSACQ2SAOC，SACF2SAOCAF2OA2F（1，0）A（1，0），C（0，3），直线AC的解析式为y3x3ACFQ，设直线F
10、Q的解析式为y3x+b来源:Z&xx&k.Com将F（1，0）代入，得03+b，解得b3直线FQ的解析式为y3x+3联立y=x2-2x-3，y=-3x+3，解得x1=-3，y1=12x2=2，y2=-3点Q的坐标为（3，12）或（2，3）专题过关1（1）将A，B，C代入函数解析式，得a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=-3解得a=1，b=-2，c=-3这个二次函数的解析式yx22x3；（2）设BC的解析式为ykx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得3k+b=0，b=-3解得k=1，b=-3BC的解析式为yx3设M（n，n3），P（n，n22n3）PM（n3）（n22n3）n2+3n（n3
11、2）2+94当n32时，PM最大94；当PMPC时，BC：yx3，ABC45PHAB，BMHCMP45当PMPC时，CPM为等腰直角三角形，CPx轴设P（n，n22n3），则CPnMPn2+3nnn2+3n解得n0（舍去）或n2P（2，3）当PMCM时，设P（n，n22n3），则n2+n2n2+3n，2n2n2+3nn0，2nn2+2n解得n32P（32，242）综上所述：P（32，242）或（2，3）2(1)将A(-1，0)，B(3，0)代入抛物线解析式中，得0=-1-b+c，0=-9+3b+c，解得b=2，c=3(2)作DNCF，交CB于点N，如图所示DNCF，DENFEC，DEEF=DN
12、CF抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，点C的坐标为(0，3) 直线BC的解析式为y=-x+3令直线y=kx+1中x=0，则y=1，即点F的坐标为(0，1) 设点D的坐标为(m，-m2+2m+3)，则点N的坐标为(m，-m+3) DN=-m2+3m，CF=3-1=2DEEF=DNCF=-m2+3m2DN=-m2+3m=-(m-32)2+94的最大值为94，DEEF的最大值为98(3)假设存在符合题意的点Q，理由如下：抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，点P的坐标为(1，4)，直线PM的解析式为x=1直线BC的解析式为y=-x+3，点M的坐标为(1，2) 设PM与x轴交于
13、点G，过点G作直线BC的平行线，如图所示点G的坐标为(1，0)，PM=GM=2易知过点G与BC平行的直线为y=-x+1联立直线与抛物线解析式得y=-x+1，y=-x2+2x+3，解得x=3+172，y=-1+172，或x=3-172，y=-1-172平行线间距离处处相等，且点M为线段PG的中点，点Q到直线BC的距离与点P到直线BC的距离相等故在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等，点Q的坐标为3+172，-1+172或3-172，-1-1723（1）矩形OADC的边CD=1，OA=1而AB=4，OB=3A（1，0），B（3，0）抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，3a=2，解得a=23抛物线解析式为y=23x2+43x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时，y=23x2+43x+2=2，则C（0，2）ECx轴，点E与点C关于直线x=1对称E（2，2）OC=CE，OCE为等腰直角三角形COE=45作PQy轴交直线OE于Q，如图1，PGH=45PHOE，PQH为等腰直角三角形PH=22PQ易得直线OE的解析式为y=x设P（x，23x2+43x+2），则Q（x，x）PQ23x2+43x+2x=23x213x+2PH=22（23x2+13x+2）=23x2+26x+2=23（x14）2+49248当x=14时，PH的
