专题3：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究

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1、专题三：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究专题导入导图：我们知道平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的关系如下图：导例：如图1，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.图1（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形.方法点睛解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求

2、的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏注意结合矩形和菱形的特殊性质，往往涉及到等腰，全等，勾股或相似三角形等知识的运用.导例答案：（1）四边形ABCD为菱形，NCAB.DNE=AME.E为AD的中点，DE=AE.又NED=MEA， NDEMAE.ND=AM. NDAM， 四边形AMDN为平行四边形.（2）当四边形AMDN为矩形时，则DMAB. DAB=60， DAB为正三角形.点M为AB的中点. AM=1；当四边形AMDN为菱形时，则AM=AD=2典例精讲类型一：菱形的存在性问题例1 如图2所示，直线yxc与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过点A，C.(1)求

3、抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CEOE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 (1)把已知点坐标代入解析式，利用待定系数法可求得解析式；(2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C，由两点之间线段最短，最小值可得；(3)设出M坐标，求点P坐标注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的本题即为研究CPN为等腰三

4、角形的情况类型二：矩形的存在性问题例2 如图3，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A-3,0，B4,0两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线解析式：（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH，CH，当AH-CH值最大时，求点H坐标：（3）若点M是BAC平分线上的一点，点N是平面内一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标 图3【分析】(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出a，b的值即可得答案；（2）连接AC，延长AC交抛物线对称轴与H，由A，C两点坐标可得直线AC的解析式，根据抛物线解析式可得对称轴方程，根据A，C，H三点在一条直线时，|AH-CH|的值最大，

5、即可得答案；（3）设BAC的角平分线与y轴交于E点，过点E作EFAC，根据角平分线的性质可证明AFEAOE，可得出AF的长，利用勾股定理可求出OE的长，可得E点坐标，进而利用待定系数法可求出直线AE的解析式，分两种情况：当ABM1=90时，M1N1=AB，AN1=BM，M1Bx轴，可得点M1的横坐标，代入AE的解析式可得点M1的纵坐标，即可得出BM的长，进而可得N1点坐标；当AM2B=90时，可知N2BA=BAE，过N2作N2Gx轴，根据点E坐标可得BAE的正弦值和余弦值，即可求出BN2的长，利用N2BA的正弦和余弦可求出N2G和BG的长，进而可得OG的长，即可得N2坐标；综上即可得答案.专题

6、过关1如果一条抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx(b0)的“抛物线三角形”是等 腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线y=-x2+bx(b0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的解析式；若不存在，说明理由2，如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点，对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”（1）若抛物线

7、y=-x2+bx（b0）的“抛物菱形”是正方形，求b的值；（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+bx（b0）的“抛物菱形”，且OAB=60“抛物菱形OABC”的面积为 将直角三角板中含有“60角”的顶点与坐标原点O重合，两边与“抛物菱形OABC”的边AB，BC交于E，F，OEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时OEF的面积；若不存在，说明理由3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；（

8、2）求直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由4.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t（-1t1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由5如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=-x2+4x上，且横坐标为1，点B与点

9、A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1） （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当PBE的面积最大时，求PH+HF+12FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+12 FO取得最小值时，将CFH绕点C顺时针旋转60后得到CFH，过点F作CF的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由专题三：抛物物上的特殊平行四边形问题探究 答案例

10、1 (1)将A(4，0)代入yxc，得c4，将A(4，0)和c4代入yx2bxc，得b3抛物线解析式为yx23x4.(2)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C，连接OC，交直线l于点E，连接CE，此时CEOE的值最小抛物线对称轴直线x32，CC3.在RtCCC中，由勾股定理，可得OC5，CEOE的最小值为5.(3)存在设点M坐标为(a，0)，则点N坐标为(a，a23a4)，P点坐标为(a，-a2-3a+42).把点P坐标代入yx4，得-a2-3a+42a+4，解得a14(舍去)，a21.当PFFM时，点D在MN垂直平分线上，则D(12，32)；当PMPF时，由菱形性质得点D坐标为(1322，

11、322)或(1322，322)；当MPMF时，M，D关于直线yx4对称，点D坐标为(4，3)来源:Zxxk.Com例2 （1）A（-3，0），B（4，0），点A，B在抛物线上，9a-3b-4=0，16a+4b-4=0. 解得：a=13,b=-13.抛物线的解析式为：y=13x2-13x-4.来源:学科网ZXXK（2）连接AC，延长AC交抛物线对称轴与H.抛物线解析式为y=13x2-13x-4，与y轴交于点C，C（0，-4），对称轴为直线x=-b2a=12.|AH-CH|AC，A，C，H在一条直线上时|AH-CH|取最小值.设直线AC的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0，b=-4.解得：k=

12、-43，b=-4.直线AC的解析式为y=-43x-4.当x=12时，y=-143.H点坐标为（12，-143）.（3）设BAC的角平分线交y轴于E，过E作EFAC于F.A（-3，0），B（4，0），C（0，-4），AB=7，AC=5，OA=3，OC=4.AE为BAC的角平分线，OE=EF.又AE=AE，AOEFAE，AF=OA=3.FC=5-3=2.EF2+FC2=CE2，即OE2+22=(4-OE)2.解得OE=32.点E在y轴负半轴，E点坐标为（0，-32）.设直线AE的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0，b=-32.解得：k=-12，b=-32.直线AE的解析式为y=-12x-32.

13、ABM1=90时，四边形ANMB是矩形.M1N1=AB=7，AN1=BM，M1Bx轴，AN1x轴.x=4时，y=-72.点N1坐标为（-3，-72）.当AM2B=90时，过N2作N2Gx轴.四边形AM2BN2是矩形，N2BA=BAE.OA=3，OE=32，由勾股定理，得AE=352.sinBAE=OEAE=55，cosBAE=OAAE=255.sinN2BA =55，cosN2BA=255来源:学科网ZXXKBN2=ABcosN2BA=1455.N2G=BN2sinN2BA=145，BG=BN2cosN2BA=285.OB-BG=-85.点N2坐标为（-85，145）.综上所述：点N的坐标为N

14、1（-3，-72），N2（-85，145）.专题过关1（1）等腰；（2）抛物线y=-x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（b2，b24）满足b2=b24.b0，b=2（3）存在如图，作OCD与OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形当平行四边形ABCD为矩形又AO=AB，OAB为等边三角形作AEOB，垂足为EAE=3OE来源:学*科*网b24=3b2. b0，b=23A(3，3)，B(23，0) C(-3，-3)，D(-23，0)设过点O，C，D三点的抛物线y=mx2+nx，则12m-23n=03m-3n=-3.解之，得m=1，n=23.所求抛物线的解析式为y=x2+23x2（1）抛物线y=-x2+bx（b0）的“抛物菱形”是正方形，AOB=45OAB=90A点的横坐标，纵坐标相等A是抛物线y=-x2+bx（b0）的顶点，y=-x2+bx=-（x-b2）2+b24，A（b2，b24）b2=b24.解得b=2，（2）由抛物线y=-x2+bx（b0）可知OB=b