《傅里叶系数的推导(最新-编写)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶系数的推导(最新-编写)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、傅里叶级数的数学推导傅里叶级数的数学推导 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域 都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开信号与系统、锁相环原理等书籍， 动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布又臭又长”，而且来历相当蹊跷， 不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数 f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看 那个式， 就是把周期函数 f(t)描述成一个常数系数 a0、 及 1 倍 的 sin 和 cos 函数、 2 倍 的 sin
2、 和 cos 函数等、 到 n 倍 的 sin 和 cos 函数等一系列式子的和， 且每项都有不同的系数， 即 An 和 Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即式，不过为了积分方便，积分区间一 般设为-, -, ，也相当一个周期 T 的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式， 以使傅里叶级数来得明白些， 让我等能了解它的前世今生 呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： 、把一个周期函数表示成三角级数：、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振 动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(t+
3、)f(x)=A sin(t+) 这里 t 表示时间，A 表示振幅， 为角频率， 为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否 用一系列的三角函数An sin(nt+)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数 sin 可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t 是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5 式中多了一个 n， 且 n 从 1 到无穷大。这里 f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式 5 来看，傅 里叶是想把一个周期函数表示成
4、许多正弦函数的线性叠加， 这许许多多的正弦函数有着不同的幅 度分量（即式中 An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即 n）、有不同的初 相角（即 ），当然还有一项常数项（即 A0）。要命的是，这个 n 是从 1 到无穷大，也就是是 一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周 期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其 实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立， 关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如 A0、An 等，如果能把这些系数求出来， 那么5式就可以成立。 当然在5式中， 唯
5、一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t) 来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式 5 作如下变形： 这样，公式就可以写成如下公式的形式： 这个公式就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数 an 和 bn 及 a0 用已 知函数 f(t)来表达出来。 、三角函数的正交性：、三角函数的正交性： 这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识。一个三角函数系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , , cosnx , sinnx , 如果这一堆函数 （包括常数 1） 中任何两个不同函数的乘 积在区间-, 上的积分等
6、于零， 就说三角函数系在区间-, 上正交 一个三角函数系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , , cosnx , sinnx , 如果这一堆函数 （包括常数 1） 中任何两个不同函数的乘 积在区间-, 上的积分等于零， 就说三角函数系在区间-, 上正交， 即有如下式子 ： 以上各式在区间-, -, 的定积分均为 0， 第第式可视为三角函数 cos 和 sin 与相乘 的积分 ； 第 3-5 式则为 sin 和 cos 的不同组合相乘的积分式。除了这 5 个式子外，不可能再有其 他的组合了。注意，第 4 第 5 两个式中，k 不能等于 n，否则就不属于“三角函数系中任
7、意两个 不同函数”的定义了，变成同一函数的平方了。但第 3 式中，k 与 n 可以相等，相等时也是二个 不同函数。下面通过计算第 4 式的定积分来验证其正确性，第 4 式中二函数相乘可以写成： 可见在指定-, -, 的区间里，该式的定积分为 0。其他式也可逐一验证。 、函数展开成傅里叶级数：、函数展开成傅里叶级数： 先把傅里叶级数表示为下式，即式： 对式从-, -, 积分，得： 这就求得了第一个系数 a0 的表达式，即最上边傅里叶级数公式里的式。接下来再求 an 和 bn 的表达式。用cos(kt)cos(kt)乘式的二边得： 至此，已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在，那么
8、式等号右侧所 表示的傅里叶级数就能用来表达原函数 f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实 上，如果能够写出式，不难求出各个系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟然可 以用一些简单的正弦或余弦函数来表达， 且这个表达式是一个无穷级数。 这当然就是数学家傅里 叶的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。 综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步： 综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步： 1、 设想可以把一个周期函数 f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示， 即 5 式 ；1、 设想可以把一个周期函数 f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示， 即 5 式 ； 2、通过变
9、形后用三角级数（含 sin 和 cos）来表示；2、通过变形后用三角级数（含 sin 和 cos）来表示； 3、通过积分，把各未知系数用 f(t)的积分式来表达；3、通过积分，把各未知系数用 f(t)的积分式来表达； 4、最后得到的 4 个表达式就是傅里叶级数公式。4、最后得到的 4 个表达式就是傅里叶级数公式。 在电子学中， 傅里叶级数是一种频域分析工具， 可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、 基波（角频率为 ）和各次谐波（角频率为 n）的和，也就是级数中的各项。一般，随着 n 的 增大，各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前 n 项之和就可以很好接近原周期波形。 这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。
