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1、有关指导 有关指导 信号分类信号分类 周期信号分析-傅里叶级数周期信号分析-傅里叶级数 非周期信号分析-傅里叶变换非周期信号分析-傅里叶变换 脉冲函数及其性质脉冲函数及其性质 信号信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 21 信号的分类信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号，非确定性信号 确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。 质量 M 弹簧 刚度 K t x(t) o x0 质量弹簧系 统的力学模型 x(t) 0 cos)(t m k Atx 非确定性信号（随机信号）非确定性信号
2、（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：按取值情况分类：模拟信号模拟信号，离散信号离散信号 数字信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 时域描述 如简谐信号 如简谐信号 )cos( 000 tx 简谐信号及其三个要素 幅值频率相角 频域描述 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐 信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含 有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。 22 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 一、一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号傅里叶级数的三角函数形式 周期信号
3、时域表达式 )21( )()2()()( ， n nTtxTtxTtxtx T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” # # 傅里叶级数的三角函数展开式 )sincos()( 0 1 00 tnbtnaatx n nn （n=1, 2, 3，） 傅立叶系数： 2 2 0 )( 1 T T dttx T a 2 2 0 cos)( 2 T T n tdtntx T a 2 2 0 sin)( 2 T T n tdtntx T b 式中 -周期；0-基频, 0=2/T。 三角函数展开式的另一种形式： )cos()( 1 00 n nn tnAatx N 次谐波 N 次谐波的相角 N 次谐波的频
4、率N 次谐波的幅值 信号的均值， 直流分量 , 3, 2, 1 arctg 22 n a b baA n n n nnn 周期信号可以看作均值与一系列谐波之和-谐波分析法 频谱图 n A n 0 2 0 2 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图 解解： t x(t) -A A T 非对称周期方波 解： 信号的基频 T 2 0 傅里叶系数 奇函数： 0 0 n aa 为偶数 为奇数 n n n A n n A ttnA T ttntx T b T T Tn 0 4 cos1 2 dsin 4 dsin)( 2 2 0 0 2 2
5、0 t 的偶函数 n次谐波的幅值和相角 n A bbaA nnnn 4 22 ， 2 n ), 5 , 3 , 1(n 最后得傅立叶级数 ), 5 , 3 , 1() 2 cos( 4 )( 0 ntn n A tx n 频谱图 nAn A4 3 4A 5 4A 2 03050 图图图图 图图图图 二、二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式周期信号傅里叶级数的复指数形式 欧拉公式 tjte tj sincos 或 tjtj tjtj ee j t eet 2 sin 2 1 cos 1j 傅立叶级数的复指数形式 ), 3 , 2 , 1 , 0 ()( 0 nectx n tjn n 复数傅里叶
6、系数的表达式 2 2 00 )( 1 T T dttx T ac dtetx T jba c T T tjn nn n 2 2 0 )( 1 2 其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。 一般cn是个复数。 因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 # nn aa nn bb 即：实部相等，虚部相反，cn与与c-n共轭。共轭。 cn的复指数形式 n j nn ecc 共轭性还可以表示为 nn cc ， nn 即：cn与c-n模相等，相角相反。 傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n0 22 )( 22 n nn n Aba c （等于三角
7、函数模的一 半） n n n a b arctg （与三角函数形式中的相角相 等） 2 n n A c n n n n n a b a b arctgarctg 用cn画频谱：双边频谱 第一种：幅频谱图:|cn|-，相频谱图: n- 0 0 2 1 0 n A 1 A 2 A n 2 n c 2 1 1 A c 2 2 2 A c 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 2 2 1 1 2 n 1 单边频谱双边频谱 第二种：实谱频谱图:Recn- ，虚频谱图：Imcn- ；也就是an- 和-bn- . # 23 非周期信号与连续频谱非周期信号与连续频谱 分两类： a.准周期信号 定义：由没有公
8、共周期（频率）的周期信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b.瞬变非周期信号 t x(t) tt x(t)x(t) 几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换 一、一、 傅里叶变换傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成： dedtetxtx tjtj )( 2 1 )( x(t)的的傅傅里里叶叶变变换换X() 定义x(t)的傅里叶变换X() dtetxX tj )()( X()的傅里叶反变换x(t): deXtx tj )( 2 1 )( 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续
9、变化的无数谐波 deX tj )( 2 1 的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函数频谱密度函数。 对应关系： tjn n tj ecedX 0 )( 2 1 X()描述了x(t)的频率结构 X()的指数形式为 )( )()( j eXX 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得 dtetxfX tfj2 )()( dfefXtx tfj2 )()( X( f )的指数形式 )( )()( fj efXfX 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图： )(X )( 幅值频谱图相位频谱图 实频谱图ReX()和虚频谱图Im() 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为
10、X()的绝 对值，相角为或。 二、二、 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性 )()()()( 22112211 fXafXatxatxa FT （二）对称性 )()(fxtX FT （注意翻转） （三）时移性质 0 2 0 )()( tfjFT efXttx （幅值不变，相位随 f 改变2ft0） （四）频移性质 )()( 0 2 0 ffXetx FTftj （注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性 )( 1 )( a f X a atx （六）微分性质 )()2( )( fXfj dt txd nFT n n （七）卷积性质 （1）卷积定义 dtyxtytx)()
11、()()( （2）卷积定理 )()()()( )()()()( fYfXtytx fYfXtytx FT FT 三、三、 脉冲函数及其频谱脉冲函数及其频谱 （一）脉冲函数： x(t) -/2图tt0 1/图 x(t) t/2图 )(t )( 0 ttA 定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值： 00 0 )( t t t 脉冲强度（面积） 1)( dtt （二）脉冲函数的样质 1脉冲函数的采性（相乘）样质： t t0 )( 0 tt t x(t) )(t x(t)()0(tx )()( 00 tttx 函数值： 00 0 )()( 0 t t tttx 强度： )()()()()(
12、0000 txdttttxdttttx 结论：1.结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)在脉冲发生时刻的函数值 2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻 的的值。 2脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2 )( )()( )()()()( tx dttx dtxttx (b) 利用结论2 )( )()( )()()()( 0 00 00 ttx dttttx dttxtttx 结论：平移平移 tt0 )( 0 tt x(t) )( 0 ttx （三）脉冲函数的频谱 1)()()( 2 dtetft ftjFT 均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果由此导出的其他3个结果 0 2 0) ( ftjFT ett （利用时移性质） ff FT 1 （利用对称性质） )( 0 2 0 ffe FTtfj （对上 式，再用频移性质） （四）正弦函数和余弦函数的频谱 ） 00 22 ( 2 1 )( 2 1 2 1 2cos ffffee ft FTftjftj ） 00 22 ( 2 )( 22 2sin ff j ff j ee j ft FTftjftj f )( f f )( f 余弦函数的频谱正弦函数的频谱 f0 f0 -f0-f0 -1/2 1/21/21/2
