《一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(最新-编写)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(最新-编写)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【学习目标】【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析内容分析】 韦达定理 ：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么 2 0(0)axbxca 12 ,x x 1212 , bc xxx x aa 说明：（1）定理成立的条件0 （2）注意公
2、式重的负号与 b 的符号的区别 12 b xx a 根系关系的三大用处根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值（1）计算对称式的值 例例 若是方程的两个根，试求下列各式的值： 12 ,x x 2 220070 xx (1) ；(2) ；(3) ；(4) 22 12 xx 12 11 xx 12 (5)(5)xx 12 |xx 解：解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212 2,2007xxx x (1) 2222 121212 ()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x (2) 12 1212 1122 20072007 xx xxx x (3) 121212 (5)(5)5()2
3、520075( 2)251972xxx xxx (4) 222 12121212 |()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x 说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， 222 121212 ()2xxxxx x 12 1212 11xx xxx x 22 121212 ()()4xxxxx x ， 2 121212 |()4xxxxx x 22 12121212 ()x xx xx xxx 等等韦达定理体现了整体思想 333 12121212 ()3()xxxxx xxx 【课堂练习】【课堂练习】 1设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，
4、则 x12x22的值为_ 2已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x2 ，x1x2 ， （x1x2）2 3已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ; 1 2 4若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a= ; 5若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值 为 ; 6 设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值： (1)x12x2+x1x22 (2) 1 x1 1 x2 7已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2
5、2 2 1 x 1 x 1 （2）构造新方程（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。 例例 解方程组 x+y=5 xy=6 解：显然，x，y 是方程 z2-5z+60 的两根 由方程解得 z1=2,z2=3 原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围（3）定性判断字母系数的取值范围 例例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。 解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b 为的两根，则 c=2 由题意知 k2-4220，k4 或 k-4 为所求。 【典型例题】【典型
6、例题】 例例 1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值x 22 1 (1)10 4 xkxk k (1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根满足 12 ,x x 12 |xx 分析：分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是， 12 0 xx 12 xx 所以要分类讨论 解：解：(1) 方程两实根的积为 5 22 2 12 1 (1)4(1)0 3 4 ,4 12 15 4 kk kk x xk 所以，当时，方程两实根的积为 54k (2) 由得知： 12 |xx 当时，所以方程有两相等实数根，故； 1 0 x 12 xx 3 0 2 k 当时，由于 1
7、0 x 1212 0101xxxxkk ，故不合题意，舍去 3 0 2 k 1k 综上可得，时，方程的两实根满足 3 2 k 12 ,x x 12 |xx 说明 ：说明 ： 根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实 根的条件，即所求的字母应满足0 例例 2 已知是一元二次方程的两个实数根 12 ,x x 2 4410kxkxk (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；k 1212 3 (2)(2) 2 xxxx k 若不存在，请您说明理由 (2) 求使的值为整数的实数的整数值 12 21 2 xx xx k 解：解：(1) 假设存在实数，使成立k 1212
8、 3 (2)(2) 2 xxxx 一元二次方程的两个实数根 2 4410kxkxk ， 2 40 0 ( 4 )4 4 (1)160 k k kk kk 又是一元二次方程的两个实数根 12 ,x x 2 4410kxkxk 12 12 1 1 4 xx k x x k 222 121212121212 (2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x ，但 939 425 k k k 0k 不存在实数，使成立k 1212 3 (2)(2) 2 xxxx (2) 222 121212 211212 ()44 2244 11 xxxxxxk xxx xx xkk 要使其值是整数，只需能被
9、4 整除，故，注意到，1k 11, 2, 4k 0k 要使的值为整数的实数的整数值为 12 21 2 xx xx k2, 3, 5 说明：说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明 存在，否则即不存在 (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法 4 1k 一元二次方程根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系练习题 A 组组 1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是() 2 (1)210k xx k ABCD2k 2,1kk且2k 2,1kk且 2若是方程的两个根，则的值为() 12 ,x x 2 2630 xx 12 11 xx AB
10、CD22 1 2 9 2 3已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于的方x 程的根，则等于() 22 (21)30 xmxmm ABCD3553且53 且 4若 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方t 2 0 (0)axbxca 2 4bac 式的关系是() 2 (2)Matb ABCD大小关系不能确定M M M 5若实数，且满足，则代数式的ab, a b 22 850,850aabb 11 11 ba ab 值为() ABCD202220且220且 6如果方程的两根相等，则之间的关系是 2 ()()()0bc xca xab, ,a b c
11、_ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直 2 2870 xx 角三角形的斜边长是 _ 8若方程的两根之差为 1，则的值是 _ 2 2(1)30 xkxkk 9 设是 方 程的 两 实 根 ，是 关 于的 方 程 12 ,x x 2 0 xpxq 12 1,1xxx 的两实根，则= _ ，= _ 2 0 xqxppq 10 已 知 实 数满 足， 则= _ ，= _ ，= , ,a b c 2 6,9ab cababc _ 11对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可 2 1036xxx 能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由 12若，关于的方
12、程有两个相等的的正实数根，求0n x 2 1 (2 )0 4 xmn xmn m n 的值 13已知关于的一元二次方程x 2 (41)210 xmxm (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为，且满足，求的值 12 ,x x 12 111 2xx m 14已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长x 22 1 (1)10 4 xkxk (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？k (2) 当矩形的对角线长是时，求的值5k B 组组 1已知关于的方程有两个不相等的实数根x 2 (1)(23)10kxkxk 12 ,x x (1) 求的取值范围；k (2) 是否
13、存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存kk 在，请您说明理由 2已知关于的方程的两个实数根的平方和等于 11求证 ： 关于的方程x 2 30 xxmx 有实数根 22 (3)640kxkmxmm 3若是关于的方程的两个实数根，且都大于 1 12 ,x xx 22 (21)10 xkxk 12 ,x x (1) 求实数的取值范围；k (2) 若，求的值 1 2 1 2 x x k 答案答案 A 组组 1 B2 A3A4A5A 62 ,acbbc且 7 38 9 或931,3pq 1011正确1243,3,0abc 13 2 1 (1)1650 (2) 2 mm 14 3 (1) (2)2 2 kk B 组组 1(2) 不存在 13 (1)1 12 kk且 2(1)当时，方程为，有实根 ； (2) 当时，也有实根1m 3k 310 x 3k 0 3(1) ；(2) 3 1 4 kk且7k
