《1411编号概率论与数理统计(事件的独立性)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1411编号概率论与数理统计(事件的独立性)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 独立性 1.6.1事件的独立性 1两个事件的独立性 我们知道条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)不一定相等，,但是在一些特殊情况下它们相等,例如,则有,第1章 概率论基础,一般地，有下面定义： 定义1.7 设A，B是两个事件，如果P(AB)= P(A)P(B)，则称A与B相互独立 显然，当P(A)0时，A与B相互独立当且仅当P(B|A) = P(B) 显然，当P(B)0时，A与B相互独立当且仅当P(A|B) = P(A),1.6.1 事件的独立性,请看例子,可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！,请思考:,两事件相互独立,两事件互不相容,1.6.1 事件的独立性,可见两事件互
2、不相容但不独立.,再看例子,所以，相互独立和互不相容是两个不同的概念，不要把它们相容相混淆,1.6.1 事件的独立性,事实上： 当P(A)P(B) 0时， A与B独立等价于P(B|A)=P(B)且P(|)= P()， 说明,B是否发生互相没有影响，因此A与B独立一定不是互不相容的，反之A与B互不相容一定不独立 当A，B之一为时， P(AB) = P(A)P(B)与B 同时成立，即独立与互不相容并存,两事件相互独立,两事件互不相容,1.6.1 事件的独立性,【例1.19】证明若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立： A与 ，B与 ， 与 证：因为 所以 即A与 相互独立 由此可推出 与
3、相互独立， 再由 又推出B与 相互独立,1.6.1 事件的独立性,2多个事件的独立性 定义1.8 设A,B,C 为三个事件，如果等式 P(AB ) = P( A )P( B ) P(BC ) = P( B )P(C ) P(AC ) = P(A)P(C ) P(ABC ) = P(A )P(B )P(C ) 都成立，则称事件A，B，C相互独立 另外,仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保证A、B、C两两相互独立,更不能保证三事件相互独立,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,1.6.1 事件的独立性,【例1.20】一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色，第二面染成黄色 ，
4、 第三面染成蓝色，而第四面同时染上红、黄、蓝三种颜色.现以 A ，B，C 分别记投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?,解,由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面，,因此,又由题意知,伯恩斯坦反例,1.6.1 事件的独立性,故有,因此 A，B，C 不相互独立.,则三事件 A, B, C 两两独立.,由于,1.6.1 事件的独立性,【例1.21】设一口袋中有100个球，其中有7个是红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红黄蓝三色的，其余43个是无色的现从中任取一个球，以A、B、C分别表示取得的球有红色的、有黄色的、有蓝色的事件,另一个反例(略),1.6.1
5、 事件的独立性,显然, 故P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 显然又有 P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C) 即A、B、C不是两两相互独立的更不是相互独立的.,1.6.1 事件的独立性,定义推广：如果事件A1,A2,An（n 2）中任意k（2 k n）个事件积事件的概率都等于各个事件的概率之积，则称A1,A2,An相互独立； 如果A1,A2,An中任意两个事件相互独立，则称A1,A2,An两两独立,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,1.6.1 事件的独立性,两个结论,1.6.1 事件的独立性,在实际应用中，事件的独立性常常根据
6、事件的实际意义去判断 一般情况下，若各事件之间没有关联或关联很弱，就可以认为它们是相互独立的,1.6.1 事件的独立性,【例1.22】设某地区某时间每人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求血清中含有肝炎病毒的概率 解：设Ai =“第i人的血清中含有肝炎病毒”，i = 1, 2, , 100， 可以认为诸Ai是相互独立的，从而诸 也是相互独立的，且 则要求的概率为,1.6.1 事件的独立性,【例1.23】从1至9这9个数字中，有放回地取3个数字，每次任取1个，求所取的3个数之积能被10整除的概率 解法一：设A =“所取的3个数之积能被10整除”，A1 =“所取的3个数中
7、含有数字5”，A2 =“所取的3个数中含有偶数”， 则A = A1A2， 所以 考虑到三次取数相互独立,1.6.1 事件的独立性,所以,1.6.1 事件的独立性,解法二： 设Ak表示“第k次取得数字5”，Bk表示“第k次取得偶数”，k = 1，2，3，则 A = (A1A2A3) (B1B2B3)， 由于 所以,1.6.1 事件的独立性,由于是有放回的取数，所以各次抽取结果相互独立，并且 因此,1.6.1 事件的独立性,解,【补充例】,1.6.1 事件的独立性,1.6.1 事件的独立性,【补充例】某一治疗方法对一个病人有效的概率为0.9 ，今对3个病人进行了治疗，求对3个病人的治疗中，至少有一
8、人是有效的概率.设对各个病人的治疗效果是相互独立的.,1.6.1 事件的独立性,解法二,1.6.1 事件的独立性,1.6.2 试验的独立性 定义1.9 如果第一次试验的任一结果，第二次试验的任一结果，第n次试验的任一结果都是相互独立的事件，则称这n次试验相互独立，如果这n次独立试验还是相同的，则称为n重独立重复试验，如果在n重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：A或 ，则称这种试验为n重伯努利试验 例如 掷n枚硬币，从一大批产品中抽查n个产品等，都是n重独立重复试验,1.6 独立性,在重伯努利试验中，若事件A在每次试验中发生的概率均为P(A) = p，(0 p 1)，那么,事件A发生k
9、(k=1,2,n)次的概率pk是多少呢? 由于试验是相互独立的，如果事件A在n次独立试验中某指定的k次试验（比如说前k次试验）中发生，而在其余n k次试验中不发生，其概率为 其中Ai表示“A在第i次试验中发生”，i = 1,2, , n,1.6.1试验的独立性,由组合知识，A在n次试验中发生k次共有 种不同的情况，而每种情况的概率都是 并且这些情况是互不相容的故所求概率为 k = 1，2，n,1.6.1试验的独立性,【例1.24】八门火炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹，共有不少于2发炮弹命中目标时，目标就被击毁，如果每门炮命中目标的概率为0.6，求击毁目标的概率 解：本题可看作p=0.6，n=8的n重伯努利试验，所求概率是事件A在8次独立试验中至少出现两次的概率，即,1.6.1试验的独立性,【补充例】 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落（记为H）的概率.,解,A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,因而,解,“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;,【补充例】,“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;,
