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1、第三章 一维随机变量及其分布,概率论与数理统计,随机变量的分布函数,2,连续型随机变量,3,离散型随机变量,1,第三章 一维随机变量及其分布,第一节 离散型随机变量,1,2,随机变量的概念,离散型随机变量的分布律,3,常用的离散型分布,一、随机变量的概念,定义1 对于给定的随机试验， 是其样本空间，对 中每一样本点 ，有且只有一个实数 与之对应，则称此定义在上 的实值函数X为随机变量（Random variable）通常用大写英文字母表示随机变量，用小写的英文字母表示其取值,一、随机变量的概念,投掷一枚均匀硬币，观察硬币的着地面，此时观察对象是硬币的面，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（
2、记之为X）：设X为一次投掷中出现正面的次数，即,二、离散型随机变量的分布律,定义2 设X为随机变量，可能取的值是有限个或可数多个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布,二、离散型随机变量的分布律,设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为 ，事件 的概率为 ，那么，可以用下列表格来表达X取值的规律： 其中 N 这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律（或称为概率分布）,二、离散型随机变量的分布律,例1 在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球，观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：,二、离散型随机变量的分
3、布律,则有 于是X的分布律为,二、离散型随机变量的分布律,例2 设随机变量 的分布律为： 求 (1) (2) Y=2X+3 的分布律。,二、离散型随机变量的分布律,解：由X的分布律可列出下表,二、离散型随机变量的分布律,由上表可定出 的分布律为： (2) 的分布律为：,三、常用的离散型分布,1. （01）分布 如果X的分布律为 其中 ，则称X的分布为（0）分布或两点分布（Two-point distribution）,三、常用的离散型分布,2. 二项分布 在n重伯努利试验中，如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数，则X可能取的值为 ，且由二项概率得到x取k值的概率 因此，X的分布律为
4、称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial distribution)，记作 ，这里,三、常用的离散型分布,例3 一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球的次数，求随机变量 的分布律及至多取出一次黑球的概率 解 每次取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布 ，其分布律为,三、常用的离散型分布,即为 至多取出一次黑球的概率为,三、常用的离散型分布,3. 几何分布 设随机变量X的分布律为 P 则称X服从参数为p的几何分布
5、(Geometricdistribution)，记作,三、常用的离散型分布,几何分布具有下列无记忆性： 因此代入即得结论。,三、常用的离散型分布,4.超几何分布 设N，M，k为正整数，且 , ,若随机变量X的分布律为 则称X服从参数为n，M，N的超几何分布(Hype-geometric distribution)，记作,三、常用的离散型分布,一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白球的数目，则X的分布为超几何分布。即,三、常用的离散型分布,5.泊松分布 设随机变量X的分布律为 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的泊松分布(Poi
6、sson distribution)，记作,三、常用的离散型分布,例4 设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松分布，且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前来就诊的概率,三、常用的离散型分布,解 设X服从参数为 的泊松分布，由题意知 即 可解得 因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为,三、常用的离散型分布,定理1（泊松定理）,三、常用的离散型分布,例5 设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独立射击1000次，试求1 000次射击中集中次数不超过10次的概率 解 设X为1 000次射击中的击中次数，对每次射击而言，相当于做一次伯
7、努利试验，1 000次就是做1 000重伯努利试验，因此 ，而这1 000次射击中击中次数不超过10次的概率为,第二节 随机变量的分布函数,1,2,分布函数的概念,分布函数的性质,一、分布函数的概念,定义3 设X是一个随机变量，称定义域为 ，函数值在区间0,1上的实值函数 为随机变量X的分布函数（Distribution function）,一、分布函数的概念,例6 设一口袋有六个球，其中一个白球、3个红球、2个黑球从中任取一球，记随机变量 为取得球上的颜色（白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函数 解 X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知 取这些值的概率依次为 ,
8、一、分布函数的概念,F(x)点表达式为,一、分布函数的概念,按分布函数的定义可知,图4-1,二、分布函数的性质,1. 2.对于任意二点x1，x2，当x,x2时，有 即任一分布函数都是单调不减的 3. 及 4. 即任一分布函数是一个右连续函数,第三节 连续型随机变量,1,2,连续型随机变量概念,连续型随机变量函数的分布,3,常见的连续型分布,一、连续型随机变量概念,定义4 如果随机变量X的分布函数可表示为 其中 ，则称X为连续型随机变量， 为X的概率密度函数(Probability density function),简称密度函数(Density function)，并称X的分布为连续型分布,一
9、、连续型随机变量概念,密度函数f(x)具有下列性质： (1) (2) (3),一、连续型随机变量概念,例7 假设X是连续型随机变量，其密度函数为 求：c的值； 解 (1) (2),二、连续型随机变量函数的分布,定理2 设连续型随机变量X的密度函数为 ， 是一个单调函数，且具有一阶连续导数， 是 的反函数，则 的密度函数为,二、连续型随机变量函数的分布,例8 设随机变量X ，求随机变量 的密度函数。 解：随机变量X的密度函数为 ,二、连续型随机变量函数的分布,例9 设随机变量X的密度函数为 求：Y=2X+3的密度函数。,二、连续型随机变量函数的分布,解：由分布函数的定义得Y的分布函数为： = =
10、 由此可得Y的密度函数 =,三、常见的连续型分布,1.均匀分布 设随机变量X的密度函数为 则称X服从区间(A,B)上的均匀分(Uniform distribution)，记为,三、常见的连续型分布,均匀分布的分布函数为,三、常见的连续型分布,例10 试用均匀分布来求解下题： 某城际轻轨从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客在9:00到9:30之间随机到达该车站， 该乘客等候不到5分钟乘上车的概率； 该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率,三、常见的连续型分布,解 设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站，由于乘客在9:00到9:30之间随机到达，因此X服从区间(0，30)上的均匀分布，即X的
11、密度函数为 该乘客等候时间不到5分钟，必须且只需在9:10到9:15之间或在9:25到9:30之间到达车站，因此所求概率为 同的分析方法类似可得到所求概率为,三、常见的连续型分布,2.指数分布 如果X的密度函数为 为常数 称随机变量X服从参数为 的指数分布(Exponentially distribution)，记为 服从指数分布的随机变量X的分布函数为,三、常见的连续型分布,定理3 非负连续型随机变量X服从指数分布的充分必要条件是：对任意正实数r和s，有,三、常见的连续型分布,例11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位:min）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进银行并
12、开始办理业务（假定银行只有一个窗口提供服务），试求你将等待超过5分钟的概率，5分钟到10分钟之间的概率,三、常见的连续型分布,解 令X表示银行中正在办理业务的人所用的时间，由题意可知，X服从参数为0.2的指数分布，因此X的密度函数为 所求概率分别为：,三、常见的连续型分布,3.正态分布 定义5 若随机变量X的密度函数为 则称X服从参数为 的正态分布(Normal distribution)，或高斯分布（Gauss distribution）记作 其分布函数为,三、常见的连续型分布,当 时，称正态分布N(0,1)为标准正态分布， X的密度函数记为 分布函数记为,三、常见的连续型分布,定理4. 设 ，则有 （1） （2） （3） （4）,三、常见的连续型分布,例12 设 借助于标准正态分布的分布函数表计算 （1） （2） （3） （4）,三、常见的连续型分布,解 （1） （2） （3） （4）,三、常见的连续型分布,定理5 设 ，则 （1） （2）,三、常见的连续型分布,例13 设Y服从N(1，5，4)，计算 (1) (2) (3) (4),三、常见的连续型分布,解 (1) (2) (3) (4),Thank you,
