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1、,第六章 梁的弯曲应力和强度,主讲: 郭慧珍,四川大学锦城学院,纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,6.1 梁弯曲的正应力,横力弯曲：梁受力弯曲时，其横截面上既有弯矩又有剪力时，这样的弯曲称横力弯曲。,实验现象：,变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凸边纤维伸长、凹边纤维缩短。同时有一既不伸长也不缩短的一层，即中性层,中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。,平面假设： 变形前杆件的横截面变形后仍为平面。,中性轴： 中性层与横截面的交线称为中性轴。,中性层： 受弯变形过程中，既不伸长,也不缩短的一层。,单一材料制成的梁，其中性轴必过截面形心。,2,
2、例：将一根直径为2mm的铁丝弯成弧形，其弧形半径为600mm，假如钢丝仍为线弹性且弹性模量E=200GPa，则作用于其上的弯矩M为多大？,因为轴向力为零，所以 说明弯曲时中性轴必过形心位置。,梁发生弯曲变形时由截面法可知，直梁弯曲，不会存在轴向力,若对称弯曲直梁的弯曲刚度EI沿杆轴为常量,其变形后梁轴_.,A、 为圆弧线，且长度不变。,B、 为圆弧线，而长度改变。,C、 不为圆弧线，但长度不变。,D、 不为圆弧线，且长度改变。,A,M:所求截面上的弯矩,y:所求点到中性轴的距离,IZ:截面对中性轴的惯性矩,WZ 称为抗弯截面模量,所求截面的最大应力,例：将一根直径为2mm的铁丝弯成弧形，假如钢
3、丝刚好屈服，其屈服极限为320MPa， 且弹性模量E=200GPa，则其弯曲半径为多少？,18,一定要熟练掌握几种常见截面对中性轴的惯性矩,正应力计算公式适用范围,此公式由纯弯曲状态推导而来，因此在横力弯曲时 截面上有切应力，平面假设不能严格成立； 但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时 弹性力学指出：上述公式可以近似成立 可用于已屈服的梁截面,此公式用于指定截面的梁上，其最大正应力的计算,对于整个等截面的梁，其最大正应力：,对于整个等截面的梁，其危险截面即弯矩最大的截面，而危险点则在最大弯矩所在截面的上边缘或下边缘。其危险点的应力即最大应力,6722,梁的危险点一定在弯矩最大
4、的截面上，对吗？,长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、 l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,（压应力）,试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,竖放,横放,图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度l2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。,梁的正应力强度条件,对梁的某一截面：,对全梁（等截面）：,对于整个等截面的梁，其危险截面即弯矩最大的截面，而危险点则在最大弯矩所在截面的上边缘或下边缘。其危险点
5、的应力即最大应力。,长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度=215MPa。,kN,kNm,查表,N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3,0.937,铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403107m4，铸铁抗拉强度=50MPa，抗压强度=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。,B截面,C截面,如果T截面倒置会如何?,强度条件,宽b、高h的矩形,直径为d的圆截面,对于抗拉强度和抗压强度不同的梁，一定要对最大正负弯矩分别计算，从而求出最大拉应力点和最大压应力点再分别校核强度：,
6、轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得,铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为+40MPa， 100MPa。试校核梁的强度是否安全。,A,B,图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷q。,FA,FB,梁的强度,杆的强度,承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合
7、而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为max（a）、 max（b）、 max（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。,(a),(b),(c),B,悬臂梁由两根槽钢背靠背(两者之间未作任何固定连接)叠加起来放置,构成如图示.在载荷作用下,横截面上的正应力分布如图_所示.,(A),(B),(C),(D),z,z,D,6.2梁横截面上的切应力.梁的切应力强度条件,一、矩形截面梁的切应力,假设：,1、横截面上的方向与剪力FS平行,2、沿截面宽度是均匀分布的,Fs,Fs 横截面上的剪力；,IZ 截面对中性轴的惯性矩；,b 截面的宽度；,SZ 距中性轴为Y的横线以外部分的面积对中性
8、轴的静矩.,对于矩形截面： 其最大剪应力为,此式中 对于指定截面，剪力为定值； 对于整个梁，则剪力取最大值。,矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求max , max 。,细长等值梁,49,二、工字形截面梁的切应力,横截面上的切应力(95-97)由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5) ,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.,d为腹板的厚度；,SZ 为距中性轴为Y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩.,SZmax 为中性轴以上或以下任意一边的半个横截面积对中性轴的静矩.,即型钢表中 的比值,三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力,A为圆环形截面面积
9、,切应力的强度条件,通常，全梁最大切应力发生在剪力最大的 梁截面的中性轴上,一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下 列情况下，也校核切应力强度： 1、梁跨度较小，或支座附近有较大荷载 2、T形、工字形等薄壁截面梁 3、焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、 胶合面等进行剪切强度计算,梁的切应力强度条件,最大正应力发生在最大弯矩截面的上边缘和下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单向应力状态；,最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；,6.6 提高梁强度的方法,一、合理选择截面形状，尽量增大Wz值（P182）,1.梁的合理放置截面,工
10、字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理,2.根据材料特性选择截面,对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面，且使中性轴偏向梁受拉侧。,11,铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403107m4，铸铁抗拉强度=50MPa，抗压强度=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。,B截面,C截面,如果T截面倒置会如何?,12,二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值（P180）,1. 合理布置梁的支座,2. 适当增加梁的支座,3. 改善荷载的布置情况,三、采用变截面梁（等强度梁）（P184）,四、合理利用材料,钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越的,非对称截面 弯曲特点：,尽管外力作用 在形心上， 截面弯曲同时 产生扭转,6.7 薄壁杆件弯曲,所以只有横向力通过某一特定位置时，才可保证梁只弯不扭，这一特定位置即弯曲中心（弯心）。,弯心作用： 外力作用在弯心上，杆件只弯不扭,弯心(剪心)定义： 梁横截面上弯曲切应力合力作用点,非对称截面梁发生平面弯曲的条件： 外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心,弯心的位置是横截面的几何性质，与外荷载大小及材料性质无关。,图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？,具有双对称轴的截面，弯心在形心位置； 若横载面为两个狭长矩形的组合，则弯心在两狭长矩形的交汇处。,
