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1、,第六章 弯曲变形,材料力学,61 工程中的弯曲变形问题 62 挠曲线的微分方程 63 用积分法求弯曲变形 64 用叠加法求弯曲变形,65 简单超静定梁,66 提高弯曲刚度的一些措施,第六章 弯曲变形,弯曲变形,61 工程中的弯曲变形问题,研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。,研究目的：对梁作刚度校核；,解超静定梁（由变形几何条件提供补充方程）。,1.挠度w ：,2.转角 ：,二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为：w =f (x),三、转角与挠曲线的关系：,一、度量梁变形的两个基本位移量,条件：小变形,与 w 同向为正，反之为负。,横截面形心在垂直于x轴
2、方向的线位移。,横截面绕其中性轴转动的角度。,反时针转动为正。,62 挠曲线的微分方程,在纯弯曲时,由,62 挠曲线的微分方程,在横力弯曲时，,忽略剪力对梁位移的影响,或：,在纯弯曲时,挠曲线近似微分方程,在小变形的条件下，,取“+”,取“+”,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,63 用积分法求弯曲变形,积分常数C、D由边界条件确定。,求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。,（1）建立坐标系并写出弯矩方程,（2）写出微分方程并积分,（3）应用位移边界条件求积分常数,解：,例6-1P180,当x=0时，w=0，,P,l,A,B,=w=0,(4)写出弹性曲线方程并画出曲
3、线,(5)最大挠度及最大转角,x,w,P,l,A,B,x=l 时，,例6-2,解：,边界条件:,由（1）得：D=0,由（2）得：,求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。,最大挠度及最大转角,例6-3,解：,求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。,w,边界条件:,连续条件:,光滑条件:,由（4）得：C1=C2,由（3）得：D1=D2,由（1）得：D1=0，D2=0,由（2）得：,确定最大挠度及最大转角,当x1=0时，A=,当x2=l时，B=,最大挠度发生在AD段。,梁的刚度条件,其中称为许用转角； 称为许用挠度。,64 用叠加法求弯曲变形,叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引
4、起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,叠加原理的使用条件： 小变形、材料在线弹性范围内工作。,按叠加原理求C点挠度和A点转角。,解、(1)载荷分解如图,(2)查表计算简单载荷引起的变形。,+,=,例1,Aq,AP,利用变形表求B点挠度。,例2,变形表：,解:,例3,按叠加原理求跨中G点挠度。,解：,查第190页第9栏,用逐段刚化法求B点挠度。,=,+,P,l,a,A,B,C,例4,P,A,C,M=Pa,w2,C,解：,题6.13(P202)求跨中C点挠度。,F/2,wB2,C,D,B,a,a,Fa/2,题6.20(P205),求C点的水平和垂直位移。,题6.20(P205)
5、,求C点的水平和垂直位移。,题6.20(P205),F,A,C,B,2a,求C点的水平和垂直位移。,M=Fa,65 简单超静定梁,静定梁,超静定梁,一次静不定,弯曲变形,静定梁,超静定梁,一次静不定,解题步骤：,(4)比较原系统和相当系统的变形，解出多余约束反力。,用比较变形法解超静定梁,（1）去掉多余约束得到静定基。,（2）加上原载荷。,（3）加上多余约束反力，得到相当系统。,（5）在相当系统上求其他量。,已知：q、EI、l,试画出梁的弯矩图,=,比较变形法,+,方向假设正确，向上,解：,变形协调方程：,画剪力图和弯矩图,最大弯矩将增加3倍,若没有支座B，则梁内最大弯矩将增加：,变形协调方程
6、：,静定基的另一种取法：,A,q,l,B,结构如图，求BC 杆拉力。,=,+,解：,变形协调方程：,例10,=,L1,q,L,FN,A,B,C,q,A,B,=,L,B,wB,+,例6,已知：EI=5103 kNm2。绘梁的剪力图和弯矩图,例6,已知：EI=5103 kNm2。绘梁的剪力图和弯矩图,解：,变形协调方程：,30kN,A,B,4m,3m,2m,20kN/m,C,D,变形协调方程：,代入变形协调方程，解得：,MB=31.8kNm,20kN/m,MB,A,B,4m,FS,M,单题6-20b(P198),求梁的支反力。,单题6-20b(P198),求梁的支反力。,题6-20a(P198),
7、求梁的支反力。,Me,单题6-20a(P198),求梁的支反力。,Me,MA= MC,例,如图所示的结构，AB梁为16号工字钢，I=1130cm4，W=141cm3，l=3m，CB杆为圆截面杆，直径d=20mm，l1=2m。材料均为Q235钢，E=210 GPa，=160MPa。加载前螺母B刚与梁底面接触，螺母的螺距s=2mm。试调节螺母，使结构能承受的载荷q值为最大。问：（1）最大的q值为多大？（2）螺母应如何调节（拧紧或拧松）？调节多少圈？(不考虑弯曲剪应力强度),提高梁的刚度的措施：,减小梁的跨度l、增大梁的抗弯刚度EI、改变梁的结构。,66 提高弯曲刚度的一些措施,在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面,（1）合理选取截面形状,工字形、箱形截面比较好,对于钢材，采用高强度钢可以大大提高梁的强度，但却不能提高梁的刚度，因为高强度钢和普通钢的弹性模量E 值是相近的。,不同类材料，E值相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原材料费用也会随之发生很大的改变！,（2）改变梁的结构,本章结束,
