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1、第5章弯曲变形,2020年9月28日星期一,主讲教师：鞠彦忠,第五章 弯曲变形,位移的度量,1 工程中的弯曲变形,挠度,转角,挠曲线 梁变形后各截面形心的连线,挠度向下为正， 向上为负.,转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。,2-3 梁挠曲线近似微分方程及积分,梁挠曲线近似微分方程,在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。,通过积分求弯曲位移的特征：,1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。,2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。,3、积分常数由位移边界条件确定。,积分常数C1、
2、C2由边界条件确定,求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。,边界条件,求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。,边界条件,求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的 最大挠度。,AC段,CB段,求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的 最大挠度。,最大转角,力靠近哪个支座，哪边的转角最大。,最大挠度,令x=a,转角为零的点在AC段,一般认为梁的最大挠度就发生在跨中,画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。,两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条
3、件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,全梁仅一个挠曲线方程,共有两个积分常数,边界条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将
4、分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,4 按叠加原理计算梁的挠度和转角,叠加法计算位移的条件：,1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；,2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载 呈线性关系；,3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。,用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度c和梁端截面的转角AB.,AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.,计算
5、C点挠度,将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半,查表,试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。,变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度c.,多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度E.,图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常数k.,C处挠度等于弹簧变形。,根据对称关系,平衡关系,叠加法求挠度,悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,有四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?,AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。,5 梁内的弯曲应变能,横力弯曲,6简单的超静定粱,未知力个数等于独立
6、的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构.,未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.,所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.,未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.,求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.,图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15N
7、/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,=100MPa.试校核该梁的强度.,列静力平衡方程,变形协调方程,试求图示梁的支反力,在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定.,结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.,将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超静定。,当系统的温度升高时,下列结构中的_不会产生温度应力.,图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用,梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,_是错误的.,A. 若取支
8、反力FB为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度B=0;,B. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移C1=0;,C. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移C1等于弹簧的变形;,D. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠度c等于弹簧的变形。,图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接.在截面C上_.,A. 有弯矩，无剪力；,B. 有剪力，无弯矩；,C. 既有弯矩又有剪力；,D. 既无弯矩又无剪力；,等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结构,则_.,A. 多余
9、约束力为FC，变形协调条件为C=0;,B. 多余约束力为FC，变形协调条件为C=0;,C. 多余约束力为MC，变形协调条件为C=0;,D. 多余约束力为MC，变形协调条件为C=0;,练习：已知外伸梁抗弯刚度EI。试求：A点挠度,解：,练习：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况如图。AB梁抗弯刚度为EI，DC梁抗弯刚度为2EI。试求：经过滚柱所传递的压力。,选取静定基,解：一次超静定,练习：悬臂梁受力如图。已知：M、EI、L为 常数。求：使C=0时，P=？，并求此时的yC,解：,练习：试用叠加法计算刚架由于弯曲在A截面引起的垂 直位移及水平位移,7 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施,1,梁
10、的刚度校核,悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力=160MPa，梁的许可挠度/L=1/500。试选择工字钢的型号。,1.按强度选择,查表：选16号工字钢,2.按刚度选择,查表：选22a号工字钢,2,提高刚度的途径,提高刚度主要是指减小梁的弹性位移,弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度(EIZ)有关,对于梁,其长度对弹性位移影响较大.,因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则可增加中间支座.,轴力FN,扭矩T,内力分量,弯矩M,剪力FS,正应力均匀分布,切应力与距圆心距离成正比分布,应力分布规律,正应力与中性轴距离成正比,切应力沿截面高度呈抛物线,应力状态,单轴应力状态,纯剪切应力状态,单轴应力状态,纯剪切应力状态,强度条件,变形公式,轴向线应变,单位长度扭转角,挠曲线曲率,截面位移,轴向线位移,扭转角,挠度与转角,刚度条件,变形刚度条件,变形刚度条件,位移刚度条件,应变能,本章作业,5-1（d），5-2，5-3，5-5（图5-24），5-7，5-8,练习：已知外伸梁抗弯刚度EI。试求：A点挠度,解：,
