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1、1,提纲,2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换,2,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系B 的三个单位主矢量xB,yB,zB相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述.,3,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的
2、某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为,4,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 这些旋转变换可以通过右图推导 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.,5,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 旋转矩阵的几何意义: 1) 可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系的姿态矩阵. 2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系B中的点的坐标 变换成A中点的坐标 . 3) 可作为算子,将B中的矢量或物体变换到A中.,6,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标
3、的原点位置矢量表示，即,7,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换 平移坐标变换 坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:,8,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换 2.旋转变换 坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:,9,旋转矩阵-举例,例1 已知转动坐标系OUVW中的两点aUVW(4，3，2) T和bUVW(6，2，4) T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。 解,Robotics 数学基础,10,旋转矩阵-举例,例2 已知参考坐标系OXYZ中的
4、两点aXYZ(4，3，2) T和bXYZ(6，2，4) T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。 解,Robotics 数学基础,11,合成旋转矩阵:,例1：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参考坐标系 做如下运动： R（x, 90）； R(z, 90)； R(y,90)。求点 在固定参考坐标系 下的位置。,解1：用画图的简单方法,Robotics 数学基础,12,解2：用分步计算的方法, R（x, 90）, R（z, 90）, R（y, 90）,（2-14）,（2-15）,（2-16）,Robotics 数学基础,13,上述计算方法非常繁琐，可以通
5、过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：,R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：,定义1： 当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。 注意：旋转矩阵间不可以交换,Robotics 数学基础,14,旋转次序对变换结果的影响,Robotics 数学基础,15,合成旋转矩阵,为了表示绕OXYZ坐标系各轴的一连串有限转动，可把基本旋转矩阵连乘起来。由于矩阵乘法不可交换，故完成转动的次序是重要的。例如，先绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再绕OY转角；表示这种转动的旋转矩阵为,如果转动的次序变化为，先绕OY
6、转角绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再绕OX轴转角；表示这种转动的旋转矩阵为,Robotics 数学基础,16,除绕OXYZ参考系的坐标轴转动外，OUVW坐标系也可以绕它自己的坐标轴转动。这时，合成旋转矩阵可按下述简单规则求得： 1. 两坐标系最初重合，因此旋转矩阵是一个33单位矩阵I3。 2如果OUVW坐标系绕OXYZ坐标系的一坐标轴转动，则可对上述旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵。 3如果OUVW坐标系绕自己的一坐标铀转动，则可对上述旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵,合成旋转矩阵规则,先绕OY轴转 角，然后绕OW袖转角，再绕OU转角；表示这种转动的旋转矩阵为,Robotics 数学基础,17,
7、Robotics 数学基础,2.2 坐标变换 3.复合变换 一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有: (2-13),18,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换 例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合,首先B相对于A的ZA轴转30,再沿A的XA轴移动12单位,并沿A的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在B坐标系中的位置为BP=3,7,0,求它在坐标系A中的位置.,19,开始,20,一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。,式中i, j, k为x, y, z
8、 轴上的单位矢量， a= , b= , c= ，w为比例系数,显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1 。,列矩阵,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,21,例：,可以表示为： V=3 4 5 1T 或 V=6 8 10 2T 或 V=-12 -16 -20 -4T,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,22,齐次坐标与三维直角坐标的区别,V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z） 而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的
9、V点在空间位置上不变。,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,23,几个特定意义的齐次坐标：,0, 0, 0, nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴 0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴 这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,24,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 1.齐次变换 (2-13)式可以写为: (2-14
10、) P点在A和B中的位置矢量分别增广为: 而齐次变换公式和变换矩阵变为: (2-15,16),25,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 2.平移齐次坐标变换 A分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为： 用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.,26,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 3.旋转齐次坐标变换 将上式增广为齐次式：,27,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。,例2-4 ：U=
11、7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。 例2-5：在上述基础上再平移（4，-3，7）。,28,举例说明： 例1：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系0重合,动坐标系0做如下运动：R(Z,90) R（y,90） Trans(4，-3, 7)，求合成矩阵,解1：用画图的方法：,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,29,解2：用计算的方法,以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。 如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：,例2：先平移Trans (4,-3,7)；绕当前 轴转动90；绕当前 轴转动90；求合成旋转矩阵。,（2-20）,Robotics 数
12、学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,30,解1：用画图的方法,解2：用计算的方法,（2-21）,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,31,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 由矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。,32,式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论： 动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况： 定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,结
13、果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，,也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,33,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换绕固定轴x-y-z旋转 RPY角,34,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换z-y-x欧拉角,35,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换z-y-z欧拉角,36,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换矩阵的几何意义,37,习题1： O与O初始重合，O作如下运动：绕Z轴转动30 ；绕X轴转动6
14、0 ；绕Y轴转动90 。求T。,38,习题2： O与O初始重合，O作如下运动：绕X轴转动90；绕w轴转动90；绕Y轴转动90。求 T；改变旋转顺序，动系如何旋转才能获得相同的结果。,解：,解： 绕Z轴转动90； 绕X轴转动90； 绕Y轴转动90。,解： 绕v轴转动90； 绕u轴转动90； 绕w轴转动90。,39,习题3： 矢量 在O中表示为 ，O相对于O的 齐次变换为：,解：1）,40,解：2）,解：3）,41,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及 逆变换 1.物体位置描述 物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述。物体的变换也可通过这些特征点的变换获得。,42,Roboti
15、cs 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换 1.物体位置描述,43,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换 2.齐次坐标的复合变换 B相对于A: ABT; C相对于B: BCT; 则C相对于A:,44,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换 3.齐次坐标的逆变换 B相对于A: ABT; A相对于B: BAT; 两者互为逆矩阵.求逆的办法: 1.直接求ABT-1 2.简化方法,45,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换 3.齐次坐标的逆变换 一般,若 则,46,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换 及逆变换 3.变换方程初步 B:基坐标
16、系 T:工具坐标系 S:工作台坐标系 G:目标坐标系 或工件坐标系 满足方程,47,习题4： 如图所示，1）写出 、 、 、 ；2）求,解：1）,48,解2）：根据定义2，绕自身旋转，右乘,49,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换 1.通用旋转变换公式 求:绕从原点出发的f旋转角时的旋转矩阵. S:物体上固接的坐标系 T:参考坐标系 C:Z轴与f重合的辅助坐标系,xT,YT,ZT,T,C,S,zS,f, Zc,O,50,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换 在S上取一点p,其坐标为向量P,它绕T中直线f旋转角。 1）将S上p点坐标变换到T中，其坐标为 2）直接计算绕f旋转的坐标为， 目前上式在T无法直接求。采取如下步骤： 3）建立辅助坐标系C，使其Z轴与f重合。这样问题 变为绕ZC旋转。将S中的点p变换到C中，变换 为： 4）在
