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1、勾股定理,斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此,在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯,年希腊曾经发行了一枚纪念票。,定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955,两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。,相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾宰牛百头，广设盛宴，表示庆贺，对这个定理的重视可想而知。,勾股定理的历史,相传，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系。,勾股定理的历史,我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝
2、数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。,弦,勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,即 :,那么勾股定理是如何证明的呢？,4,4,8,SA+SB=SC,C,图甲,1.观察图甲，小方格 的边长为1. 正方形A、B、C的 面积各为多少？,正方形A、B、C的 面积有什么关系？,C,图乙,2.观察图乙，小方格 的边长为1. 正方形A、B、C的 面积各为多少？,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面积有什么关系
3、？,4,4,8,SA+SB=SC,图甲,图乙,2.观察图乙，小方格 的边长为1.,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面积有什么关系？,4,4,8,SA+SB=SC,图甲,a,b,c,a,b,c,3.猜想a、b、c 之间的关系？,a2 +b2 =c2,a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,用拼图法证明,用拼图法证明,用拼图法证明, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形,a2 +b2 =c2,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么,即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.,a,c,勾,弦,b,股,勾股定理的其它证法,勾股定理是几何中一
4、个非常重要的定理，自古以来人们进行了大量的长期的研究，目前世界上可查到的证明方法有三百多种。,我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的勾股圆方图注中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。,每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图。,大正方形面积怎么求？,赵爽弦图,结论：,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、 易懂、明了的证明，就把 这一证法称为“总统”证法。,有趣的总统证法,结论变形,c2 = a2 + b2,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
5、,结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边.,例1 在RtABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.,B,24,A,C,7,如果将题目变为： 在RtABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？,24, RtABC中, C是直角,AC2+BC2=AB2,八年级下册,勾股定理-理解,例题分析,1 .在RtABC中，=90. (1) 已知：a=6，=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.,(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.,常见勾股数,试一试
6、:,2、已知：RtBC中，AB，AC,则BC的长为 .,3、如图,折叠长方形的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. 求：EC的长.,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,利用勾股定理证明,4、如图， ABC 中，CDAB于D 求证：AC2 BC2 = AB （AD -BD）,18.1勾股定理2,1、在RtABC中，C=90, (1)已知a=3,b=4,则c=_ (2)已知a=6,c=10,则b=_ (3)已知a=2,b=4,则c=_ 2、直角三角形的两条边长分别为 5、12，则第三边长为 .,测验,3、如图,折叠长方形的一边，使点D落在BC边
7、上的点F处，若AB=8，AD=10. 求：EC的长.,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,4、如图，在ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， 求证：AD2-AB2=BDCD,如图，在ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BDCD,证明：,过A作AEBC于E,E,AB=AC，BE=CE,在Rt ADE中，,AD2=AE2+DE2,在Rt ABE中，,AB2=AE2+BE2, AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2),= DE2- BE2,= (DE+BE)( DE- BE),= (DE+CE)( DE- BE),=BDC
8、D,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么,即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.,a,c,勾,弦,b,股,探究1、求下列各边长：,1,1,？,2,?,？,45,？,？,等腰直角三角形三边的比为1：1：,45,探究2、求下列各边长：,1,?,？,4,？,30,？,？,？,30,30,含有30的直角三角形三边的比为1： ：2,练习1、在RtABC中，=90， AB=10,(1) A=30，求：BC、AC (2) A=45，求：BC、AC,A,C,O,B,D,练习2、一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.
9、5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,探究3、在数轴上画出表示的点。,扩展,利用勾股定理作出长为 的线段.,1,1,18.1勾股定理3,如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是( ) (的值取3),B,B,8,O,A,2,蛋糕,A,C,探究、,如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？,B,C,A,B1,C1,D1,A1,D,5,8,5,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,B,A,B1,D1,A1,D,5,5,8,直角三角形两直角边分别为5厘米、12
10、厘米，那么斜边上的高是多少？,ab=ch,如图，在ABC中，ACB = 90。，CD是高，若AB=13cm，AC = 5cm，求CD的长；,A,B,C,D, C=90,AC2+BC2=AB2,八年级下册,勾股定理-运用,18.1勾股定理逆定理,勾股定理,互逆命题,如果直角三角形两直角边分别为a、b， 斜边为c，那么,勾股定理的逆定理,互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.,互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理
11、, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.,定理与逆定理,我们已经学习过哪些互逆的定理。,（1）任何一个命题都有逆命题； 原命题与逆命题的关系是题设和结论相互转换 （2）原命题正确，逆命题不一定正确；原命题不正确，逆命题可能正确。 （3）一个定理未必有逆定理。,（1）等腰三角形的两底角相等,原命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两底角相等。,逆命题：如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形是等腰三角形。,写出下列命题的逆命题并判断它们是否成立:,（2）两直线平行，同位角相等,原命题：如果两条直线平行，那么同位角相等。,逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行。,（
12、3）三内角之比为1:2:3的三角形为 直角三角形,原命题：如果一个三角形三内角之比为1：2：3， 那么这个三角形是直角三角形。,逆命题：如果一个三角形是直角三角形， 那么这个三角形三内角之比为1：2：3。,练习：,说出下列命题的逆命题，并说明这些命题的逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a15 , b 8 , c17,(2) a13 , b 15 , c14,解：1528222564289 17
13、2289 15282172 这个三角形是直角三角形,下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？,(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;,(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;,(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;,是,是,不是,是, A=900, B=900, C=900,(3) a=1 b=2 c= _ _ ;,像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.,B,A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形,1.,已知：如图，四边形ABCD中，B900，AB3，BC4，CD12，AD13,求
14、四边形ABCD的面积?,3,4,12,13,分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。,ABC是直角三角形,自主评价：,1、勾股定理的逆定理,2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题,3、什么称为互为逆定理。,勾股定理练习课,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么,即直角三角形两直角边的 平方和等于 斜边的平方.,a,c,勾,弦,b,股,等腰直角三角形三边的比为1：1：,含有30的直角三角形三边的比为1： ：2,小结：,1、运用勾股定理计算 知两边长直接求一边。 只知一边长，可运用方程求另
15、两边。 对于含45度和30度的直角三角形，可用比例求边长。 2、运用勾股定理证明：构造直角三角形,（1）直角三角形的两条直角边长分别为3、4，则斜边长为 . （2）等腰直角三角形的腰长是1，则底边长为 . （3）直角三角形中，30度的角所对的边为5，则另两边长为 .,测验,4、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求：这个三角形的面积。,5、在平面直角坐标系中，点（-3，-4）与原点之间的距离是_， 点（3，- 4）与点（2，1）之间的距离是_.,7.若正方形的面积为3cm2，则它的对角线长是 . 8.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .,6.在 ABC中,C=90, (1)若c=10,a:b=3:4,a=_,b=_. (2)若a=8,b=15,则c=_.,9、已知，如图，在RtABC中，C=90，1=2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.,10、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长,
