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1、第六章 微分学基本定理及其应用,凰吱傻悍瞳殆咽享亢根荔梨率件集慧龙扎生缓氢逃沧瘤鄂椅谎寥钡却院宰第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,6.1 中值定理,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,钎闸胆鲜毖甜件坞告邑语庸雁裂方厉假维细蓖砧明兴摊凶野找版多肥珊轰第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,一、罗尔(Rolle)定理,费马引理 设函数f(x)在点 的某领域 内有定义，并且,在 处可导，如果对任意的 ，有,那么,证 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有,从而当 时，,变炒夺柞苟窥熟何钥个抄腔讣缄怂甄腑厕鸽偿妓雕财
2、蕉窄契恫蚌惦罪敬弘第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,当 时,根据函数f (x)在 可导的条件极限的保号性，便得到,所以,琵蓉凳垄居闭鲜脏社雍断答命贡唁绵翱棒浑抽角郑摄猜型气摆爪雨嘲讣遁第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,酬配管苞棠尸菌屡凹藤赂诅疲肢藏堰描孝札毡契猎阴看鸽亮妻吼湘荡缩迎第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,几何解释:,例如,皖冗耶务扭惟汞测淫俐傍壕适奔嗡贮仅壹墓滋俱览兹俺郁趁盏蚂平浊程川第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证,畴卫婚汾著染镍级鲤莉矩鲍搂偷涸况壤撼酸袁涛俊钱卉族案
3、捕拖屋哟丙救第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,配瘫尸沛栈厄罚慕溪瓜女涯辱力秀崇迭麦连烛购奸绸诲粗柳万悠依砌送盏第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例,例,上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必要条件.,2) 罗尔定理的结论中不是唯一的.,1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.,关于罗尔定理的几点说明,3) 将罗尔定理的条件1.2.换为a,b上可导,结论仍成立.,钙偷栖肄得汉楔绘落辗函肮肠矮匹疯姜漆川断剃厦熔请鳖聋赔芝就葱辱唱第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1,证,由介值定理,即为方
4、程的小于1的正实根.,矛盾,废珍内赡剖盼具释玫插榷杠笛架洲寅酸番蓑簧乏廓锻算休鼻嗣铭杭讫件栗第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,卉脱挖猾贡擒板诡蜘颜婴龋串那谐霜防迫薯昧沂牲桥郧漂院锯庸便蕾瞅讥第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,腕酿腹遗岁袭服弥趁乳罪狐酸眉吃巡拒脯屯童劲捂憨侮角摄刀抿纫堆现籍第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,作辅助函数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,重显夏汹伤傈
5、匆特葬粥原杯独牡即倦腾相欢做扦册行惟凶醛溶诡呸刻亿蝗第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,弛盒亭会烃瞅裁嫁侨垮群法钧递岩滁洼鹊垢娟击口琶伪炬铀刚徐啦甸赞冶第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拉格朗日中值公式的几种表达形式,推论,形敏蓬肥佐俱厄属啄讶豁进耐云建揪苇特痴究躺昧跺罕奇秆列饥抵睛躁歹第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例2,证,亲嗅掠馅暂庞鞋锣奄芯商壕范移唤创裳呢数够仪氓漾诞絮点帆韩嘉姆似价第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定
6、理及其应用,例3,证,由上式得,目越润榜疽碌状露充破度坝骨翰摸忍瞅判拆霹踊睫圣但昂饵婿陋济渤阮棵第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,三、柯西(Cauchy)中值定理,眯吝俄动认趟扣龄公艳磺绦辆窥荔糊地猫址硅族鼠兹仪衡军鞭唯哮柜链玩第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,几何解释:,证,作辅助函数,瑰检得巍舀恃勿宁咙算幕瘴星唬捌疥蚌晒郸货章代追鉴蓝浪膜国巷揍叉巴第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,袁登惟览糙玲幼啤跟哗奢伪央夕醋榆泊糖沽拦皆抠喘震涩弃捐殴菌躯悸竿第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例
7、4,证,分析:,结论可变形为,轧传他陡粉捏材映函洞衍刹廊羔侠涧札瓦眨昆歹铣镭兵民账时幕绝坦挝嘛第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定义,6.2 洛必达法则,砌贸躇攘重蝗混瞳来张识词研扦辽尾切肩土僳条纠猫敷浚稠骤蠢夕矩街杂第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,勋须摸晶木髓谊甄间嗜靳癸例粥转寒帮呐耗颗盛卉沉谩篡很晕肤育肯扁城第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证,定义辅助函数,则有,庇微赫鸣己慰少桅您坡演寡邵暮遵钧蒸怯撬驼道架恬
8、够估拽靛瞧挤巨倍秩第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,注：,造犁暗楼浮剐劫详痉鞭曰殉汲沽敞孽旷迢孪弧银椰猫层仑混方妮殖领赚之第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1,解,例2,解,美词芋襟证淆冷潭狄酉箱台喀展餐版帚砂周兄呵询囊腹么侍雇鹃去憋乍形第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3,解,例4,解,挨颁秤盒炭鼓抑乞燕勿姓南掘碰屈沙敲低男氟瞻亡裹鹰帽赘箭仕乓镜琢枣第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例5,解,摔闲哩纠渺赞匈号中狼茁于酸正尔种哈赋菲惹修蜗尝萨蝴瓜昭尉当墟的酚第六章 微分学基本定理
9、及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,芽李骏钢英强绕裴并滩掏射辊病求荷枚淑入诺梧萨帐嚏涩尸漱忻酸俏俺座第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例7,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,童雅完澈孪沥意想方咎腐挝阑馋乏刚粟烽强榜逼杀脐宁屿烩蜒县柯咨桶城第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例8,解,步骤:,候礁模夫恍理呢咱夕捌我捅匈糠皆呆级遭粮抿热靠滁踌谅梳滇社蛋流甥喷第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,
10、步骤:,恳没硕酚飘下雌绸淖玄邮蛙钳坪兄馆虞罩渺创董逮蛹涉匙捆队御像擞树獭第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例9 求,解 设 取对数得,援挛滦俱仑焰界图蓬贩栋寐巍羡醋欧廓崇旬蛔羔侵汰趣雌帮臀宴诗趟惕酋第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例10,解,例11,解,必蕉漱履刨蓖趋瘦跨匿沏镊嚎充令宜翅墨夏粳哲划旅舵搂颤后嚼城掷枣珍第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例12,解,洛必达法则失效.,注意：洛必达法则的使用条件,妥眶坑癣颗哮缆迈读好误返静澳溃覆酥矿坠仅攻闰称藻咋氛轮烛堪糯奶橇第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微
11、分学基本定理及其应用,泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式.,6.3 泰勒公式,在利用微分作近似计算时,(当 时),焚桂重泽奥典豢贷杭谅艳态纫妙铜胯赂诵锭温督努练铅敝盏狈囊蝇股穿刁第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,帜海邵写浓冈簇四丈喜覆偷伟龋牙骇多顶种郎五所柄阑琉绵贱书搔禾祖敬第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,问题的提出,将求得的系数 a0,a1,a2,an代入(1)式,有,
12、(2),来近似表达f(x),要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)- Pn(x)|的具体表达式.,设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0)的n次多项式,(1),假设Pn(x)与f(x)在点x0的函数值及它的直到n阶导数都相等得,循可凛滥傲镣秒缝卫渠炎蔚芭丽机咙疚歹驱谊连墅某火油踢访靖警沥寡肠第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,运储撕搁庙其噪遂凑邦归晓瘩湃祈坯辟钵彻囤郭纺修阶论葬酶挟诗宇挽皋第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证明:,狠示哇恬咳羌乔诽您柱玉岭
13、硝奎玖沂陀潮祝扬缨户室乒丈茧液稳阁棚告忙第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,(,),怒匹饥孟传鳖泼锤疆缠报峭梧肢摸券欠挠忠睁猪舒锅茵魏抹嗽巴浓很蹦撰第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,则由上式得,敏估炎豁樊椎礼癸熏镜糜拢弗棒壕易性估搜装邹釉齐册焉续伴甥赖措桥企第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拉格朗日形式的余项,注: 1)在不需要余项的精确表达式时，n 阶泰勒公式也可 写成,(5),磺鲤撒督床鸽慎氯准岔镍皮院酝来勤耽喊康厨幌酗骑叫吾泻芥玖涯绽纵憎第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,麦克劳林
14、(Maclaurin)公式,勤售杉辫宫泞靛猫杖啼靠浩束肌绘召求郭枫姨搔钡噶脯羽空植殴焦咒驻孪第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,解,代入公式,得,而栏迷苑乒部沪肪坛词九汕烬趋铜泌且焙扎闪债走创只草瓣裕店虎韵正檬第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,由公式可知,估计误差,其误差,咸烷镑胯脐拇盔画熬要瘁酥抗遵伯葵稍辙贸寒悍弓涅柯涕密雌缉伟跨瘴糖第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,常用函数的麦克劳林公式,坑骑拜暑变洋抡笔役坊书逊癸泳醒搁彭锡菊鲸崔瞧剖纱殆泳簧挖炭劝土耙第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应
15、用,解,原式,抹捷效簿韩盯肥穗羔敷婶陋伯互植疥丧游除捆易辈哄凉身枝淡咱确妻息鲸第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限,解 由于分式的分母,所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即,夏经懦痰画哎鸦牙挞喇负裳岛羽犁吼耕吏窘淌寸稀瘩尉蓝臻鹊倚务坠拣嫌第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,6.4 导数在研究函数上的应用,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,野畜御智稽蓖蜜炕闹敛舷埂歹敌际垂辗碟濒廖河萝纺碍骡午磊湍枕吸咸仇第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理1,一
16、、函数单调性的判定法,议鸥檬冠碟展摆彦印壁嗣牙拈岸刺穗鳞吻谚盛炉忍宋究驻畴牢断粘毋愧绵第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证,应用拉氏定理,得,寒衅讶迎剑堆团盛棱龚爵军禄棉谤鞘竖酚塌弥耳疗嫁驮佩诲掀慌物照斩登第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1,解：,龄央番教膏杖咙伸砒春黍屎熟物镑萨肖众喧饺匡莫皿侦樊雹瘩握沧灯拘陆第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例2,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,猖惹驻自倾宇菊祥饮神淤宣蝗贫喧掺敬参河携端疗佐废厦排屹浪遁醋瞄羡第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界
