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1、第七章 应力与应变分析、强度理论,第一,二节 应力状态的概念第三节 平面应力状态分析(解析法) 第四节 平面应力状态分析(图解法)第五节 三向应力状态简介第八节 广义虎克定律第十一, 十二节 四种强度理论,请看下列实验现象：,低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验,应力状态概述问题的提出,复习:,低碳钢拉伸实验,韧性材料-低碳钢轴向拉伸时为什么会出现滑移线？,滑移线,铸铁扭转实验,脆性材料-铸铁扭转时为什么会沿450螺旋面断开？,以前的知识不能解释这些现象,钢筋混凝土简支梁,问题的提出,轴向拉伸杆件,斜截面应力：,问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；,横截面应力：,梁弯曲的强度
2、条件：,问题2 一点处应力该如何校核？,有必要研究一点的应力状态。,一方面：研究通过一点各不同方位截面上应力的变化规律。 一方面：需要探求材料破坏的规律。,受力之前,表面的正方形,受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。,受力之前,表面斜置的正方形,这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。,拉伸,表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。,圆变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。,扭转,？,一点的应力状态： 过一点处，即一微元所有方位面上的应力集合，称为该点的应力状态。,（1）什么是一点的应力状态,围绕一点作一微小单元体，即微元,为什么分析一点的应力状态？,找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确
3、定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。,1.基本概念,根据微元的局部平衡,拉中有剪,剪中有拉,横截面上的正应力分布,应力的点的概念：同一面上不同点的应力不一定相同。,横截面上的剪应力分布,应力的面的概念：同一点不同方向面上的应力也不一定相同。,应 力,指明,哪一个面上哪一点？,哪一个点上哪一方向面？,应力状态分析(analysis of stress-state)是用平衡的方法，分析过一点、在不同方向面上的应力以及这些应力之间的相互关系，并确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。,研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体单元体进行分析,在单元体各面上标
4、上应力：应力单元体,应力状态的分类,各边边长,2.两个相互平行侧面上的应力情况相同.,3.代表点三个相互垂直方向上的应力情况.,1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的.,单元体的特点,应力与应变分析,c) 同b)但从上表面截取,b) 横截面，周向面，直径面各一对,a) 一对横截面，两对纵截面,几种受力情况下截取单元体方法：,（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面(法线)，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。,（2）面的方位用其法线方向表示,单元体上的应力分量,应力与应变分析,根据材料的均匀连续假设，微元体各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方
5、向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系:,正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。,应力与应变分析,应力角标规定： 第一角标表示应力作用面 (法线表示)，第二角标表 示应力平行的轴，角标相 同时只用一个角标表示.,二、应力状态分类(按主应力),基本概念 主平面：单元体上剪应力为零的面；,主应力：主平面上作用的正应力，用s1、s2、s3表示， 按s1s2s3(根据大小排列).,应力与应变分析,2、应力状态的分类,1)、空间应力状态: 三个主应力1 、2 、3 均不等于零,2)、平面应力状态: 三个主应力1 、2 、3 中有两个不
6、等于零,3)、单向应力状态 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零,空间应力状态,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,特例,特例,取单元体示例,S截面,S 截面,例:画出如图所示梁危险截面危险点的应状态 单元体,y,x,z,例: 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态,薄壁圆筒的横截面面积:,(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F,(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象,一、平面应力分析的解析法,1.平面应力状态图示：,第三节 平面应力状态分析,平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx,3 方向角与应力分量的正负号约定,拉
7、为正,压为负,正应力,剪应力,使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,方向角,由 x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。, 平衡对象, 平衡方程, 参加平衡的量,用 斜截面截取的微元局部,应力乘以其作用的面积,3 微元的局部平衡,利用三角中的倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：,37,38,例:图示单元体，已知 x =-40MPa，y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况,解: 求 ef 截面上的应力,例:图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力,例 分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸
8、时发生屈服的主要原因。,当45时，斜截面上既有正应力又有剪应力：,轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹45角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。,认为屈服是由最大剪应力引起的,例 分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆轴试样扭转破坏的主要原因。,解：纯剪应力状态下xy0 ，,纯剪应力状态,压应力最大,拉应力最大,铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面(即-45螺旋面)断开的。因此，认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。,1)最大正应 力及方位,令:,0 和 0+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.,将 0和
9、0+90 代入公式:,得到 max 和 min (主应力）,txy箭头指向第几象限(一、四)，则较大主应力在第几象限,2)最大切应力及方位:,令:,1 和 1+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.,将 1和 1+90 代入公式:,得到 max和min,可见,解 （1）求主平面方位,因为 x = y ，且 x y 0,例: 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.,xy,所以0= -45与 max 对应,（2）求主应力,1 = ， 2 = 0 ， 3 = - ,例:图示单元体，已知 x =-40MPa，y =60MPa，xy=-50MPa.试求
10、 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,解:(1) 求 ef 截面上的应力,(2) 求主应力和主单元体的方位,x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa =-30,例:图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力； 主应力并画出主单元体；极值切应力。,例: 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =-70MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主平面的方位.,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,例: 分析圆轴扭转时的应力状态。,4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴 线成45斜截面上，它们数值相等，均等于横截面
11、上的剪应力；,第四节 平面应力分析的图解法应力圆,1.理论依据：,为半径的圆。,以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx、txy 以 为半径的圆。,2.应力圆的绘制：,定坐标及比例尺；,取x面，定出D( )点；取y面，定出D( )点；,连DD交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；,2.应力圆的绘制：,定坐标及比例尺；,取x面，定出D( )点；取y面，定出D( )点；,连DD交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；,d,a,c,单向拉伸,单向拉伸,可见，45 方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,单向拉伸,B,E,纯剪应力状态,结果表明： 45 方向面只有
12、正应力没有切应力，而且正应力为最大值。,主应力单元体,纯剪应力状态,4、主应力与主平面,(1)主应力与主平面,主平面（Principal Plane）：切应力为零的平面(与应力圆上和横轴交点对应的面),主应力：作用于主平面上的正应力,主单元体:各侧面上只有正应力作用,而无剪应力作用的单元体,(2)主应力的确定,(4)主应力的表达式,(3)主方向的确定,过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,(5)主应力的排序,求：1)a=30o斜截面上的应力； 2)主应力及其方位； 3)极值剪应力。,例: 用应力圆法重解例题。,求,例,D,60,E,2、量出所求的物理量,解：1、按比例画此单元体对应
13、的应力圆,例: 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。,解: (1) 首先计算支反力, 并作出梁的剪力图和,弯矩图,FSmax =FC左 = 200 kN,Mmax = MC = 80 kNm,(2)横截面 C上a 点的应力为,a点的单元体如左图所示,由 x ， xy 定出 D 点,由 y ， yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,O,(3)做应力圆,x =122.5MPa， xy =64.6MPa,y=0， xy =-64.6MPa,A1，A2 两点的横坐标分别代 表 a 点的两个
14、主应力 1 和 3,A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面,(4)横截面 C上b点的应力,b点的单元体如图所示,b 点的三个主应力为,1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C,第五节 三向应力状态,在受力物体的任一点处一定可以找到一个主应力单元体，其三对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为1、2、3 。,对危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算时，通常需确定最大正应力和最大切应力。,1).弹性理论证明，单元体内任意截面上的应力都对应着应力圆上或阴影区内的一点。,结论 ,3).整个单元体内的最大切应力为：,2).整个单元体内的最大正应力为：,4).整个单元体内的最
15、大切应力所在的平面：与 主平面垂直，并与 和 主平面互成45夹角。,例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）,解：1) x面为 主平面之一,2) 建立应力坐标系如图，画yz平面的应力圆及三向应力圆得:,解析法,1)由单元体知：x 面为主平面之一,2)求yz面内的最大、最小正应力。,3)主应力,4)最大切应力,（M Pa ）,200,300,50,tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,200,50,300,50,第八节 广义虎克定律,知识点复习,设杆原长为l，直径为d, 受一对轴向拉力F的作用，发生变形。变形后杆长为l1，直径为d1。,轴向(纵向)应变：,其中：拉应变为正，压应变为负。,横向应变：,胡克定律：,实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数u-称为横向变形系数（泊松比）,一、广义虎克定律 1.有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示；,2.广义虎克定律： 推导方法：叠加原理,主应变与主应力关系：,第八节 广义虎克定律,二、例题 例: 在一体积较大的钢块上有一直径为
