《高考数学(四海八荒易错集)专题12 空间平行与垂直 文》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学(四海八荒易错集)专题12 空间平行与垂直 文(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题12 空间平行与垂直1,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析当mn,m,n时,两个平面的位置关系不确定,故错误,经判断知均正确,故正确答案为.2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC2a,BB13a,点D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF_时,CF平面B1DF.答案a或2a3如图,正方形BCDE的边长为a,已知ABBC,将ABE沿边BE折起,折起后A
2、点在平面BCDE上的射影为D点,对翻折后的几何体有如下描述:AB与DE所成角的正切值是;ABCE;VBACE是a3;平面ABC平面ADC.其中正确的是_(填写你认为正确的序号)答案解析作出折叠后的几何体的直观图如图所示:CEAD,又BDADD,BD平面ABD,AD平面ABD,4.如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,ADDCa,ABC60,平面ACEF平面ABCD,四边形ACEF是平行四边形,点M在线段EF上(1)求证:BC平面ACEF;(2)当FM为何值时,AM平面BDE?证明你的结论(1)证明在等腰梯形ABCD中,ABCD,ADDCa,ABC60,ADC是等腰三角形,且BCDADC120,
3、DCADAC30,ACB90,即BCAC.又平面ACEF平面ABCD,平面ACEF平面ABCDAC,BC平面ABCD,BC平面ACEF.(2)解当FMa时,AM平面BDE.证明如下:5如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)由已知,DE为ABC的中位线,DEAC,又由三棱柱的性质可得ACA1C1,DEA1C1,且DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面A1B1C1
4、,AA1A1C1,又A1B1A1C1,且A1B1AA1A1,A1C1平面ABB1A1,B1D平面ABB1A1,A1C1B1D,又A1FB1D,且A1FA1C1A1,B1D平面A1C1F,又B1D平面B1DE,平面B1DE平面A1C1F.6如图1,在正ABC中,E,F分别是AB,AC边上的点,且BEAF2CF.点P为边BC上的点,将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使平面A1EF平面BEFC,连接A1B,A1P,EP,如图2所示(1)求证:A1EFP;(2)若BPBE,点K为棱A1F的中点,则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行,若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由 (1)
5、证明在正ABC中,取BE的中点D,连接DF,如图1.图1所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC,所以A1EFP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行理由如下:如图1,在正ABC中,因为BPBE,BEAF,所以BPAF,所以FPAB,所以FPBE.如图2,取A1P的中点M,连接MK,图2易错起源1、空间线面位置关系的判定例1、(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()Al与l1,l2都不相交Bl与l1,l2都相交Cl至多与l1,l2中的一条相交Dl至少与l1,l2中的一条相交(2)关于空间两条直线a、b和
6、平面,下列命题正确的是()A若ab,b,则aB若a,b,则abC若a,b,则abD若a,b,则ab答案(1)D(2)D解析(1)若l与l1,l2都不相交,则ll1,ll2,l1l2,这与l1和l2异面矛盾,l至少与l1,l2中的一条相交(2)线面平行的判定定理中的条件要求a,故A错;对于线面平行,这条直线与面内的直线的位置关系可以平行,也可以异面,故B错;平行于同一个平面的两条直线的位置关系:平行、相交、异面都有可能,故C错;垂直于同一个平面的两条直线是平行的,故D正确,故选D.【变式探究】设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列四个命题:若mn,m,则n;若m,m,则;若mn,m
7、,则n;若m,m,则.其中真命题的个数为()A1B2C3D4答案B【名师点睛】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【锦囊妙计,战胜自我】空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断易错起源2、空间平行、垂直关系的证明例2、如图
8、,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC4,AB6,BC3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离(1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCAD,因为BC平面PDA,AD平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCCD,因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,BC平面ABCD,所以BC平面PDC,因为PD平面PDC,所以BCPD.(3)解如图,取CD的中点E,连接AE和PE.因为PDPC,所以PECD,在RtPED中,PE.因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDC
9、D,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.由(2)知:BC平面PDC,由(1)知:BCAD,所以AD平面PDC,因为PD平面PDC,所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥CPDAV三棱锥PACD,所以SPDAhSACDPE,即h,所以点C到平面PDA的距离是.【变式探究】如图,在四棱锥PABCD中,ADBC,且BC2AD,ADCD,PBCD,点E在棱PD上,且PE2ED.(1)求证:平面PCD平面PBC;(2)求证:PB平面AEC.因为ADBC,所以ADOCBO,所以DOOBADBC12,又PE2ED,所以OEPB,又OE平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.【名师
10、点睛】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边中线即高线的性质;勾股定理;线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l,ala.【锦囊妙计,战胜自我】空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化易错起源3、平面图形的折叠问题例3、如图,在边长为4
11、的菱形ABCD中,DAB60,点E,F分别是边CD,CB的中点,ACEFO,沿EF将CEF翻折到PEF,连接PA,PB,PD,得到如图的五棱锥PABFED,且PB.(1)求证:BDPA;(2)求四棱锥PBFED的体积(2)解设AOBDH.连接BO,DAB60,ABD为等边三角形,BD4,BH2,HA2,HOPO,在RtBHO中,BO,在PBO中,BO2PO210PB2,POBO.POEF,EFBOO,EF平面BFED,BO平面BFED,PO平面BFED,梯形BFED的面积S(EFBD)HO3,四棱锥PBFED的体积VSPO33.【变式探究】如图1,在RtABC中,ABC60,BAC90,AD是
12、BC上的高,沿AD将ABC折成60的二面角BADC,如图2.(1)证明:平面ABD平面BCD;(2)设点E为BC的中点,BD2,求异面直线AE和BD所成的角的大小所以AEF为异面直线AE与BD所成的角连接AF,DE,由BD2,则EF1,AD2,CD6,DF3.在RtADF中,AF.在BCD中,由题设BDC60,【名师点睛】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口;(2)存在探索性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论【锦囊妙计,战胜自我】平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化,这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键
13、一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法1l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()Ap是q的充分条件,但不是q的必要条件Bp是q的必要条件,但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案A解析由l1,l2是异面直线,可得l1,l2不相交,所以pq;由l1,l2不相交,可得l1,l2是异面直线或l1l2,所以qp.所以p是q的充分条件,但不是q的必要条件故选A.2设a,b是平面内两条不同的直线,l是平面外的一条直线,则“la,lb”是“l”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件答案C3设m,n是空间两条直线,是空间两个平面,则下列命题中不正确的是()A若m,n,则nmB若m,m,则C若n,n,则D若m,n,则mn答案A解析