《高考数学（考点解读+命题热点突破）专题19 概率、随机变量及其分布列 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（考点解读+命题热点突破）专题19 概率、随机变量及其分布列 理（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题19 概率、随机变量及其分布列【命题热点突破一】古典概型与几何概型例1、【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【变式探究】三位学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为_【答案】【解析】 三位学生两位老师站成一排，有A120（种）站法，老师站在一起，共有AA48（种）站法，故老师站在一起的概率为.【特别提醒】求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注
2、意不要重复也不要遗漏【变式探究】 已知圆O：x2y212，直线l：4x3y25，则圆O上的点到直线l的距离小于2的概率为_【答案】【解析】 圆心O到直线l的距离为5.设与直线l平行且距离为2，并与圆O相交的直线为l，如图所示，此时圆心O到直线l的距离为3，则直线l截圆O所得的劣弧上的点到直线l的距离小于2，圆O的半径为2 ，所以直线l截圆O所得的劣弧所对的圆心角为60，所以所求的概率为.【特别提醒】与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积有关的几何概型问题计算与线段长度有关的几何概型的方法是：求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本
3、事件对应的线段长度之比即为所求【举一反三】如图所示，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为3，向大正方形内抛撒一颗黄豆(假设黄豆不落在线上)，则黄豆恰好落在小正方形内的概率为()A. B.C. D.【答案】B【特别提醒】计算与面积相关的几何概型的方法：算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事件对应图形的面积之比即为所求【变式探究】某高二学生练习投篮，每次投篮命中率约为30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率：选用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表
4、示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果经随机模拟产生了如下随机数：807956191925271932813458569683431257393027556488730113527989据此估计该学生3次投篮恰有2次命中的概率为()A0.15 B0.25C0.2 D0.18【答案】C【解析】 随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次命中的有191，271，027，113，共4组，所以所求概率约为0.2.【特别提醒】每次命中率约为30%，3次投篮命中2次的概率，可以看作3次独立重复试验恰好成功2次的概率，直接计算为C0.320.70.189，与随机模拟方法求得的概率具有差异随机模
5、拟的方法求得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的【命题热点突破二】相互独立事件和独立重复试验例2、某项比赛规则是：甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为，负的概率为，且各场比赛互不影响已知甲、乙两队各有5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；(2)求甲队在团体赛中至少有2名队员获胜的概率【特别提醒】在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将
6、分拆后的互斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答【变式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）.（2）X的可能取值为200，30
7、0，400.P（X200），P（X300），P（X400）1P（X200）P（X300）1.故X的分布列为X200300400P所以E（X）200300400350.【命题热点突破三】随机变量的分布列、均值与方差例3、【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中在1次试验中成功的概率为，所以在2次试验中成功次数的概率为，则.【变式探究】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3此
8、密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）. 【特别提醒】求离散型随机变量分布列的关键有两点：一是确定离散型随机变量的所有可能取值，不要遗漏；二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率【变式探究】某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的
9、长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度(单位：cm)，并将所得数据分组，得到频率分布表如下：组距频数频率100，102)170.17102，104)180.18104，106)240.24106，108)ab108，110)60.06110，11230.03合计1001(1)求上表中a，b的值；(2)估计该基地榕树树苗的平均高度；(3)该基地从高度在区间108，112内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中高度在区间110，112内的有X株，求X的分布列和数学期望解：（1）易知a1001718246332，b0.32.（2）该基地榕树树苗的平均高度约为105.02（cm）.（3）
10、由频率分布表知树苗高度在区间108，112内的有9株，在区间110，112内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3.P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）.故X的分布列为X0123P所以E（X）0123.【特别提醒】常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个：超几何分布和二项分布从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球注意从摸球模型理解这两个分布【变式探究】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.(1)分
11、别求出小球落入A袋和B袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入B袋中的小球个数，求的分布列和数学期望 (2)显然，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4，且B(4，)，故P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，P(4)C.故的分布列为01234P故的数学期望E()4.【特别提醒】求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概率，列出分布列，最后根据公式计算随机变量的数学期望和方差【命题热点突破四】求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题例4、某茶厂现有三块茶园，每块茶
12、园的茶叶估值为6万元根据以往经验，今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%，每天是否下雨互不影响(1)若采用方案，求茶厂14日当天采茶的预期收益；(2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理 (2)茶厂若采用方案，设茶厂13日采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3.因为P(6)，P(3)，所以的分布列为63P所以的数学期望E()634.8，所以若茶厂采用方案，则采茶的总收益为64.83.8414.64(万元)；若茶厂采用方案，则采茶的总收益为633.214.8(万元)因为14.64时，E()E()，即先回答问题A，再回答问题B，该参与者
