《高考数学人教A版(理)一轮复习：第九篇第5讲双曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学人教A版(理)一轮复习：第九篇第5讲双曲线（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 5 讲双曲线 A 级基础演练(时间： 30 分钟满分：55 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(5，0)，点 P 位于该双曲线上，线 段 PF1的中点坐标为 (0,2)，则双曲线的方程是() A.x 2 4 y21 Bx2y 2 4 1 C.x 2 2 y 2 3 1 D.x 2 3 y 2 2 1 解析设双曲线的标准方程为 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)，由 PF1的中点为 (0,2)知， PF2x 轴，P(5，4)，即 b2 a 4，b24a，5a24a，a1，b2，双曲 线方程为 x2 y2 4 1. 答案B 2(20
2、12 湖南)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， 则 C 的方程为() A. x2 20 y2 5 1 B.x 2 5 y2 201 C.x 2 80 y2 201 D. x2 20 y2 801 解析不妨设 a0，b0，ca2b2. 据题意， 2c10，c5. 双曲线的渐近线方程为y b ax，且 P(2,1)在 C 的渐近线上， 1 2b a . 由解得 b25，a220，故正确选项为 A. 答案A 3已知双曲线 x2 y2 3 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点， 则PA1 PF2 的最小值为() A2
3、 B 81 16 C1 D0 解析设点 P(x，y)，其中 x1.依题意得 A1(1,0)，F2(2,0)，则有 y 2 3 x21， y 23(x21)，P A1 PF2 (1x，y) (2x，y)(x1)(x2)y2x23(x2 1)x24x2x54 x1 8 281 16，其中 x1.因此，当 x1 时，PA1 PF2 取得最小值 2，选 A. 答案A 4.如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点， M，N 是双曲线的两顶点若M，O，N 将椭圆长 轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 () A3 B2 C. 3 D.2 解析设双曲线的方程为 x2 a21 y2 b211，椭圆
4、的方程为 x2 a22 y2 b221，由于 M，O，N 将椭圆长轴四等分，所以a22a1，又 e1 c a1 ，e2 c a2，所以 e1 e2 a2 a1 2. 答案B 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分) 5 已知双曲线 C1： x2 a2 y2 b21(a0， b0)与双曲线 C2： x2 4 y2 161 有相同的渐近线， 且 C1的右焦点为 F( 5，0)，则 a_，b_. 解析与双曲线 x2 4 y2 161 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 x2 4 y2 16 ( 0)，即 x 2 4 y2 16 1.由题意知 c5，则 4 16 5? 1 4，则 a 21，b2 4
5、.又 a0，b0，故 a1，b2. 答案12 6(2012 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x2 m y2 m241 的离心率为 5， 则 m 的值为 _ 解析由题意得 m0，am，bm24. cm2m4，由 e c a 5，得 m2m4 m 5， 解得 m2. 答案2 三、解答题 (共 25 分) 7(12 分)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2， 且|F1F2|2 13，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3 7. (1)求这两曲线方程； (2)若 P 为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值 解(1)由已知： c13，设椭圆长、
6、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚 轴长分别为 m，n， 则 am4， 7 13 a 3 13 m . 解得 a7，m3.b6，n2. 椭圆方程为 x2 49 y2 361，双曲线方程为 x2 9 y 2 4 1. (2)不妨设 F1，F2分别为左、 右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF1|PF2| 14，|PF1|PF2|6， 所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|213， cosF1PF2|PF 1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1| |PF2| 10 242 2 132 2104 4 5. 8(13 分)(2012 合肥联考 )已知双曲线的中心在原点，焦点F
7、1，F2在坐标轴上， 离心率为2，且过点 (4，10) (1)求双曲线方程； (2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证： MF1 MF2 0； (3)求F1MF2的面积 (1)解e2，设双曲线方程为x2y2 . 又双曲线过 (4，10)点， 16106， 双曲线方程为 x2y26. (2)证明法一由(1)知 ab6，c2 3， F1(2 3，0)，F2(2 3，0)， kMF1 m 32 3，kMF 2 m 32 3， kMF1 kMF2 m2 912 m 2 3， 又点(3，m)在双曲线上， m23， kMF1 kMF21，MF1MF2，MF1 MF2 0. 法二MF1 (32 3，m)，M
8、F2 (2 33，m)， MF1 MF2 (32 3)(32 3)m23m2. M 在双曲线上， 9m26， m 23，MF 1 MF2 0. (3)解在 F1MF2中，|F1F2|43，且|m|3， SF1MF21 2 |F1F2| |m|1 24 3 36. B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分) 1(2013 北京西城模拟 )过双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点 F(c,0)(c0)作圆 x2y2 a2 4 的切线， 切点为 E， 延长 FE 交双曲线右支于点P， 若OF OP 2OE ， 则双曲线的离心率为
9、() A.2 B. 10 5 C. 10 2 D. 10 解析设双曲线的右焦点为A，则 OF OA ，故 OF OP OP OA AP 2OE ，即 OE1 2AP.所以 E 是 PF 的中点，所以 AP2OE2 a 2a.所以 PF 3a.在 RtAPF 中，a 2(3a)2(2c)2，即 10a24c2，所以 e25 2，即离心率为 e 5 2 10 2 ，选 C. 答案C 2(2012 福建)已知双曲线 x2 4 y 2 b21 的右焦点与抛物线 y212x 的焦点重合，则 该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于() A.5 B4 2 C3 D5 解析易求得抛物线y212x 的焦点为 (3,
10、0)，故双曲线 x2 4 y2 b21 的右焦点为 (3,0)，即 c3，故 324b2，b25，双曲线的渐近线方程为y 5 2 x， 双曲线的右焦点到其渐近线的距离为 5 2 3 15 4 5. 答案A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分) 3(2013 临沂联考 )已知点 F 是双曲线 x 2 a2 y 2 b21(a0，b0)的左焦点，点 E 是该 双曲线的右顶点，过点F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 _ 解析由题意知，ABE 为等腰三角形 若ABE 是锐角三角形， 则只需要 AEB为锐角根据对称性，只
11、要AEF 4即可直线 AB 的方程为 xc，代 入双曲线方程得 y2 b4 a2， 取点 A c， b2 a ， 则|AF|b 2 a ， |EF|ac， 只要|AF|EF| 就能使 AEF 4，即 b2 a ac，即 b2a2ac，即 c2ac2a20，即 e2e20， 即1e1，故 1e0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，点 P 在双 曲线上，且 PF1PF2，|PF1|8，|PF2|6. (1)求双曲线的方程； (2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B 两点，且 F1A 2F1B ，求此直线方程 解(1)由题意知，在 RtPF1F2中， |F1F2|PF1|2|PF
12、2| 2， 即 2c826210，所以 c5. 由椭圆的定义，知2a|PF1|PF2|862，即 a1. 所以 b2c2a224，故双曲线的方程为x2 y 2 241. (2)左焦点为 F1(5,0)，两渐近线方程为y 2 6x. 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在 设 过 左 焦 点 的 直 线 方 程 为y k(x 5) ， 则 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 5k 2 6k， 10 6k 2 6k 和 5k k2 6， 10 6k k2 6 . 由F1A 2F1B ，得 5k 2 6k5， 10 6k 2 6k 2 5k k2 65， 10 6k k2 6 或者 5k k2 65，
13、10 6k k2 6 2 5k 2 6k5， 10 6k 2 6k ， 解得 k 2 6 3 . 故直线方程为 y 2 6 3 (x5) 6(13 分)(2011 江西 )P(x0，y0)(x0 a)是双曲线 E： x2 a2 y2 b21(a0，b0)上一点， M，N 分别是双曲线 E 的左，右顶点，直线PM，PN 的斜率之积为 1 5. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于A，B 两点，O 为坐标原 点，C 为双曲线上一点，满足 OC OA OB ，求 的值 解(1)由点 P(x0，y0)(x0 a)在双曲线 x2 a2 y2 b21上，有 x
14、20 a2 y20 b21. 由题意有 y0 x0a y0 x0a 1 5， 可得 a25b2，c2a2b26b2，e c a 30 5 . (2)联立 x25y25b2， yxc， 得 4x210cx35b20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 5c 2 ， x1x235b 2 4 . 设OC (x3，y3)，OC OA OB ，即 x3x1x2， y3y1y2. 又 C 为双曲线上一点，即x235y235b2，有 (x1x2)25(y1y2)25b2. 化简得 2(x2 15y21)(x225y22)2 (x1x25y1y2)5b2. 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上， 所以 x215y215b2，x225y225b2. 由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c) 4x1x25c(x1x2)5c2 10b2， 式可化为 24 0，解得 0 或 4. 精心整理资料，感谢使用！
