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1、- 1 - 高中数学精品资料 2020.8 综合测试题 高中新课标数学选修（2-2） 一、选择题 1在数学归纳法证明“ 1 21 1(1) 1 n na aaaan a N，”时，验证当1n时，等式 的左边为（） 11 a 1 a 2 1a 答案： 2已知三次函数 3221 ( )(41)(1527)2 3 f xxmxmmx在 ()x， 上是增函数， 则 m 的取值范围为（） 2m或4m42m 2 4m 以上皆不正确 答案： 3设( )()sin()cosf xaxbxcxdx ，若( )cosfxxx ，则 abcd， ， ，的值分别为（） 1，1，0，0 1，0，1，0 0，1，0，1
2、1，0，0，1 答案： 4已知抛物线 2 yaxbxc 通过点(11)P ， ，且在点(21)Q，处的切线平行于直线3yx， 则抛物线方程为（） 2 3119yxx 2 3119yxx 2 3119yxx 2 3119yxx 答案： 5数列 n a满足 1 1 20 2 1 211 2 nn n nn aa a aa ， ， 若 1 6 7 a ，则 2004 a的值为（） - 2 - 6 7 5 7 3 7 1 7 答案： 6已知 ab，是不相等的正数， 2 ab x ， y ab ，则 x ，y的关系是（） xyyx2xy不确定 答案： 7复数 2 () 12 mi zm i R不可能在（
3、） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案： 8定义 ABBCCDDA，的运算分别对应下图中的 （1） ， （2） ， （ 3） ， （ 4） ，那么，图中（） ， （）可能是下列 （）的运算的结果（） BD，ADBD，A C B C，AD C D，AD 答案： 9用反证法证明命题“ abN， ，如果 ab可被 5 整除，那么a，b至少有 1 个能被 5 整除” 则假设的内容是（） a ，b都能被 5 整除 a ，b都不能被5 整除 a 不能被 5 整除 a ，b有 1 个不能被5 整除 答案： 10下列说法正确的是（） - 3 - 函数yx 有极大值，但无极小值 函数yx 有极小值，但无极大
4、值 函数yx 既有极大值又有极小值 函数yx 无极值 答案： 11 对于两个复数 13 22 i ， 13 22 i ， 有下列四个结论： 1； 1 ； 1； 33 1其中正确的个数为（） 1 2 3 4 答案： 12设( )f x 在 ab，上连续，则( )f x 在 ab，上的平均值是（） ( )( ) 2 f af b ( ) b a f x dx 1 ( ) 2 b a f x dx 1 ( ) b a f x dx ba 答案： 二、填空题 13若复数 2 22 log (33)log (3)zxxix为实数，则x的值为 答案： 4 14一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实
5、心圆） 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006 年圆中有实心圆的个数 为 答案： 61 15函数 32 ( )6(0)f xaxaxb a在区间 12， 上的最大值为3，最小值为29，则 a ，b的 值分别为 答案： 2，3 - 4 - 16由 2 4yx 与直线24yx所围成图形的面积为 答案： 9 三、解答题 17设 nN 且sin cos1xx，求 sincos nn xx 的值 （先观察1 23 4n， ， 时的值，归纳猜测 sincos nn xx 的值 ） 解：当1n时，sincos1xx； 当 2n 时，有 22 sincos1xx； 当3n时，有 332
6、2 sincos(sincos )(sincossincos )xxxxxxxx ， 而sin cos1xx ， 12sincos1xx，sin cos0 xx 33 sincos1xx 当4n时，有 4422222 sincos(sincos)2sincos1xxxxxx 由以上可以猜测，当nN 时，可能有sincos( 1) nnn xx成立 18设关于x的方程 2 (tan)(2)0 xi xi， （1）若方程有实数根，求锐角和实数根； （2）证明：对任意 () 2 kkZ ，方程无纯虚数根 解： （ 1）设实数根为a，则 2 (tan)(2)0ai ai， 即 2 (tan2)(1)0
7、aaai 由于 a ，tanR，那么 2 1tantan20 tan111 aaa a ， 又 0 2 ， 得 1 4 a， （2）若有纯虚数根()iR，使 2 ()(tan)()(2)0iiii， 即 2 (2)(tan1)0i， - 5 - 由，tanR，那么 2 20 tan10 ， ， 由于 2 20 无实数解 故对任意 () 2 kkZ ，方程无纯虚数根 19设0t，点( 0)P t， 是函数 3 ( )f xxax 与 2 ( )g xbxc 的图象的一个公共点，两函数的 图象在点 P处有相同的切线 （1）用 t 表示 abc， ，； （2）若函数( )( )yf xg x 在 (
8、 13)， 上单调递减，求t 的取值范围 解： （ 1）因为函数( )f x ，( )g x 的图象都过点( 0)t， ，所以( )0f t，即 3 0tat 因为0t，所以 2 a t ( )0g t，即 2 0btc，所以cab 又因为( )( )f xg x，在点 ( 0)t， 处有相同的切线， 所以( )( )ftg t ，而 2 ( )3fxx a ， ( )2g xbx，所以 2 32tabt 将 2 at 代入上式得 bt 因此 3 cab t 故 2 a t ， bt， 3 c t （2） 3223 ( )( )yf xg xxt xtx t ， 22 32(3)()yxtxt
9、xtx t 当(3)()0yxtxt时，函数( )( )yf xg x 单调递减 由0y，若0t，则 3 t x t ； 若0t，则 3 t tx 由题意，函数( )( )yf xg x 在 ( 13)， 上单调递减，则( 13) 3 t t，或 ( 13) 3 t t， 所以9t或3t 又当93t时，函数( )( )yf xg x 在 ( 13)， 上不是单调递减的 所以 t 的取值范围为93， 20下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论命题：若abc，且 0abc，则 2 3 bac a - 6 - 解：此命题是真命题 0abc，abc，0a，0c 要证 2 3 bac a 成
10、立，只需证 2 3bac a ， 即证 22 3baca ，也就是证 22 ()3acaca ， 即证 ()(2)0acac 0ac， 2()0acacaba， ()(2)0acac成立， 故原不等式成立 21某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为 (0)k k，且知当利率为0.012 时，存款量为1.44 亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的 存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(0 0.048)x，则当 x为多少时，银行可获得最 大收益？ 解：由题意，存款量 2 ( )f xkx ，又当利率为0.012 时，存款量为1.44 亿，即0.012
11、x时， 1.44y；由 2 1.44(0.012)k ，得10000k，那么 2 ( )10000f x x ， 银行应支付的利息 3 ( )( )10000g xx f xx， 设银行可获收益为y，则 23 48010000yx x ， 由于， 2 96030000yxx ，则0y，即 2 960300000 xx，得0 x或0.032x 因为，(0 0.032)x，时，0y，此时，函数 23 48010000yxx 递增； (0.032 0.048)x，时，0y，此时，函数 23 48010000yxx 递减； 故当0.032x时，y有最大值，其值约为0.164 亿 22已知函数 2 (
12、)(0) 1 x f xx x ，数列 n a满足 1 ( )af x ， 1 () nn af a （1）求 234 aaa，； （2）猜想数列 n a的通项，并予以证明 解： （ 1）由 1( )af x ，得 2 1 21 222 1 2 1 () 112 1 1 x ax x af a ax x x ， - 7 - 2 2 32 222 2 2 12 () 113 1 12 x ax x af a ax x x ， 2 3 43 222 3 2 13 () 114 1 13 x ax x af a ax x x （2）猜想： 2 () 1 n x an nx N， 证明：（1）当1n时
13、，结论显然成立； （2）假设当nk时，结论成立，即 2 1 k x a kx ； 那么，当 1nk 时，由 2 1 22 2 1 () 1(1) 1 1 kk x x kx af a kx x kx ， 这就是说，当 1nk 时，结论成立； 由（ 1） ， （2）可知， 2 1 n x a nx 对于一切自然数()n nN 都成立 高中新课标数学选修（2-2 ）综合测试题 一、选择题 1函数 2 ( )sinf xx 的导数是（） 2sin x 2 2sinx2cosxsin2x 答案： 2设复数 13 22 zi ，则满足 n zz的大于 1 的正整数 n 中，最小的是（） 7 4 3 2
14、答案： - 8 - 3下列函数在点0 x处没有切线的是（） 2 3cosyxxsinyxx 1 2yx x 1 cos y x 答案： 4 2 23 1 111 dx xxx （） 7 ln 2 8 7 ln 2 2 5 ln 2 8 17 ln 2 8 答案： 5编辑一个运算程序：1 12(1)2mnkmnk，则1 2005的输出结果为 （） 4008 4006 4012 4010 答案： 6如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头 方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（） 15 16 17 18 答案： 7在复平面内，复数 2 (13 ) 1 i z
15、i i 对应的点在（） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案： 8在 ABC 中，ABC，分别为 abc， ，边所对的角，若abc， ，成等差数列，则 B的 范围是（） 0 4 ， 0 3 ， 0 2 ， 2 ， - 9 - 答案： 9设 2 11111 ( ) 123 S n nnnnn ，则（） ( )S n 共有 n 项，当 2n 时， 11 (2) 23 S ( )S n 共有1n项，当2n时， 111 (2) 234 S ( )S n 共有 2 nn项，当2n时， 111 (2) 234 S ( )S n 共有 2 1nn项，当2n时， 111 (2) 234 S 答案： 10若函
16、数 2 ( )ln(0)f xxx x的极值点是，函数 2 ( )ln(0)g xxxx的极值点是，则有 （） 与的大小不确定 答案： 11已知函数 431 ( )23 2 f xxxm ，xR，若( )90f x恒成立，则实数m 的取值范围 是（） 3 2 m 3 2 m 3 2 m 3 2 m 答案： 12如图，阴影部分的面积是（） 2 32 3 32 3 35 3 答案： 二、填空题 13若复数 22 (2 )(2)zaaaai 为纯虚数，则实数a 的值等于 答案： 0 14若函数 2 4 ( ) 1 x f x x 在区中 (21)mm，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 - 10 - 答案：10m 15类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义： 答案：对 nN ，若 1nn aak（k是常数），则称数列 n a为等积数列； 2 ()
