《高考数学人教A版(理)一轮复习：第六篇第5讲数列的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学人教A版(理)一轮复习：第六篇第5讲数列的综合应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 5 讲数列的综合应用 A 级基础演练(时间： 30 分钟满分：55 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1已知 an为等比数列下面结论中正确的是() Aa1a32a2Ba 2 1a232a22 C若 a1a3，则 a1a2D若 a3a1，则 a4a2 解析设公比为 q，对于选项 A，当 a11 025 的最小 n 值是() A9 B10 C11 D12 解析因为 a11，log2an1log2an1(nN*)，所以 an12an，an2n 1，S n 2n1，则满足 Sn1 025的最小 n 值是 11. 答案C 3(2013 威海期中 )某化工厂打算投入一条新的生产线，但
2、需要经环保部门审批 同意方可投入生产已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)1 2n(n 1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害 为保护环境， 环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是() A5 年B6 年C7 年D8 年 解析由已知可得第 n 年的产量 anf(n)f(n1)3n2.当 n1 时也适合，据 题意令 an150? n5 2，即数列从第 8 项开始超过 150，即这条生产线最多 生产 7 年 答案C 4(2013 福州模拟 )在等差数列 an中，满足 3a47a7，且 a10，Sn是数列 an 前 n 项的和，若 Sn取得最大值，则n() A7
3、 B8 C9 D10 解析设公差为 d，由题设 3(a13d)7(a16d)， 所以 d 4 33a 10，即 a1(n1) 4 33a1 0， 所以 n0，同理可得 n10时，an0. 故当 n9 时，Sn取得最大值 答案C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分) 5(2012 安庆模拟 )设关于 x 的不等式 x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为 an，数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S100的值为 _ 解析由 x2x2nx(nN*)，得 0 x2n1，因此知 an2n. S100 100 2200 2 10 100. 答案10 100 6(2013 南通模拟 )已知
4、a，b，c 成等比数列，如果a，x，b 和 b，y，c 都成等 差数列，则 a x c y _. 解析赋值法如令 a，b，c 分别为 2,4,8，可求出 x ab 2 3，y bc 2 6， a x c y2. 答案2 三、解答题 (共 25 分) 7(12 分)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，S535，a5和 a7的等差中项为 13. (1)求 an及 Sn； (2)令 bn 4 a 2 n1(nN *)，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解(1)设等差数列 an的公差为 d， 因为 S55a335，a5a726， 所以 a12d7， 2a110d26， 解得 a13，d2， 所
5、以 an32(n1)2n1， Sn3nn n1 2 2n22n. (2)由(1)知 an2n1， 所以 bn 4 a2n1 1 n n1 1 n 1 n1， 所以 Tn 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1. 8(13 分)(2012 广东)设数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 2Snan12n 11，n N*，且 a1，a25，a3成等差数列 (1)求 a1的值； (2)求数列 an的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有 1 a1 1 a2 1 an2，即 3n2n2n， 1 a1 1 a2 1 an1 1 2 2 1 2 3 1 2 n11 2 1
6、 1 2n 1 3 2. B 级能力突破(时间： 30 分钟满分： 45 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分) 1(2012 济南质检 )设 yf(x)是一次函数，若 f(0)1，且 f(1)，f(4)，f(13)成等比 数列，则 f(2)f(4) f(2n)等于() An(2n3) Bn(n4) C2n(2n3) D2n(n4) 解析由题意可设 f(x)kx1(k0)， 则(4k1)2(k1)(13k1)，解得 k2， f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)2n23n. 答案A 2(2012 四川)设函数 f(x)2xcos x，an 是公差为 8的等差数列
7、， f(a 1)f(a2) f(a5)5 ，则f(a3) 2a1a5 () A0 B. 1 16 2 C.1 8 2 D.13 16 2 解析设 g(x)2xsin x， 由已知等式得 g a1 2 g a2 2 g a5 2 0， 则必有 a3 20， 即 a 3 2(否则若 a 3 20， 则有 a 1 2 a5 2 a2 2 a4 2 2 a3 2 0，注意到 g(x)是递增的奇函数， g a3 2 0，g a1 2 g a5 2 g a5 2 ， g a1 2 g a5 2 0， 同理 g a2 2 g a4 2 0，g a1 2 g a2 2 g a5 2 0，这与 “g a1 2
8、g a2 2 g a5 2 0”相矛盾，因此a3 20 不可能；同理 a 3 20 也不可能 )； 又 an 是公差为 8的等差数列， a12 8 2，a1 4，a5 3 4 ，f(a3)f 2 cos 2 ，f(a 3) 2a1a513 16 2，选 D. 答案D 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分) 3设曲线 yx n1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 an lg xn，则 a1a2a3 a99的值为 _ 解析由 y(n1)xn(xN*)，所以在点 (1,1)处的切线斜率kn1，故切 线方程为 y(n1)(x1)1， 令 y0 得 xn n n1
9、， 所以 a 1a2a3a99 lg x1lg x2lg x99lg(x1 x2 x99)lg1 2 2 3 99 991lg 1 991 2. 答案2 4(2012 沈阳四校联考 )数列an 的前 n 项和为 Sn，若数列 an 的各项按如下规 律排列： 1 2， 1 3， 2 3， 1 4， 2 4， 3 4， 1 5， 2 5， 3 5， 4 5， 1 n， 2 n， n1 n ，有如下运算和 结论： a243 8； 数列 a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比数列； 数列 a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前 n 项和为 Tnn 2n 4 ； 若存在
10、正整数k，使 Sk10，Sk110，则 ak 5 7. 其中正确的结论有 _(将你认为正确的结论序号都填上) 解析依题意，将数列 an 中的项依次按分母相同的项分成一组，第 n 组中的 数的规律是：第n 组中的数共有 n 个，并且每个数的分母均是n1，分子由 1 依次增大到 n，第 n组中的各数和等于 123n n1 n 2. 对于，注意到216 61 2 24cn(nN*) (1)解设公差为 d，则 4a16d14， a12d 2a1 a16d ， 解得 d1 或 d0(舍去)，a12， 所以 ann1，Sn n n3 2 . 又 a12，d1，所以 a34，即 b24. 所以数列 bn 的
11、首项为 b12，公比 qb 2 b12， 所以 bn2n，Tn2n 12. (2)证明因为 Kn2 2 13 22 (n1) 2n， 故 2Kn2 223 23 n 2n(n1)2n 1， 得 Kn2 212223 2n(n1)2n 1， Knn 2n 1，则 c n SnTn Kn n3 2n1 2n 1. cn1cn n4 2 n11 2n 2 n3 2 n1 2n 1 2 n1n2 2 n20， 所以 cn1cn(nN*) 6(13 分)(2012 重庆)设数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn1a2Sna1，其中 a20. (1)求证： an是首项为 1 的等比数列； (2)若 a
12、21，求证： Snn 2(a 1an)，并给出等号成立的充要条件 证明(1)由 S2a2S1a1，得 a1a2a2a1a1， 即 a2a2a1. 因 a20，故 a11，得 a2 a1a2， 又由题设条件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1， 两式相减得 Sn2Sn1a2(Sn1Sn)， 即 an2a2an1，由 a20，知 an10，因此 an2 an1a 2. 综上， an1 an a2对所有 nN*成立从而 an是首项为 1，公比为 a2的等比数 列 (2)当 n1 或 2 时，显然 Sn n 2(a 1an)，等号成立 设 n3，a21 且 a20，由(1)知，a11，anan
13、1 2， 所以要证的不等式化为： 1a2a22 an 1 2n 2(1a n1 2)(n3)， 即证： 1a2a22 an2 n1 2 (1an2)(n2)， 当 a21 时，上面不等式的等号成立 当1a21 时，ar21 与 an r 21，(r1,2， n1)同为负； 当 a21 时，ar21 与 an r 21，(r1,2， n1)同为正； 因此当 a21 且 a21 时，总有(ar21)(an r 21)0，即 ar2an r 21an2，(r 1,2， n1) 上面不等式对 r 从 1 到 n1 求和得 2(a2a22 an 1 2)(n1)(1an2) 由此得 1a2a22 an2n1 2 (1an2) 综上，当 a21 且 a20 时，有 Sn n 2(a1an)，当且仅当 n1,2 或 a21 时 等号成立 . 精心整理资料，感谢使用！
