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1、1 高中数学精品资料 2020.8 【人教版高三数学模拟试卷】 北京市西城区高三4 月第一次模拟考试试题 数学（理科） 2012.4 第卷 （选择题共 40 分） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 . 1已知全集UR，集合 1 |1 Ax x ，则 U A（） （ A）(0,1)（B）(0,1 （ C）(,0(1,)（D）(,0)1,) 2执行如图所示的程序框图，若输入 2x ，则输出 y的 值为（） （A）2 （B）5 （C）11 （D）23 3若实数x，y满足条件 0, 30, 03, xy xy x 则2xy的最大值为
2、（） （ A）9（B）3（C）0（D）3 4已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为 3 12 3cm 2 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（） （ A） 2 4 3 cm（B） 2 2 3 cm（C） 2 8cm（D） 2 4cm 5已知函数 44 ( )sincosf xxx的最小正周期是，那么正数（） （ A）2（B）1 （C） 1 2 （D） 1 4 6若 2 log 3a， 3 log 2b， 4 log 6c，则下列结论正确的是（） （ A）bac（B）abc （ C）cba（D）bca 7 设等比数列 n a的各项均为正数， 公比为q， 前n项和为 n S 若对
3、* nN， 有 2 3 nn SS， 则q的取值范围是（） （ A）(0,1（B）(0, 2)（C）1,2) （D）(0,2) 8已知集合 23 0123 |333 Ax xaaaa，其中0,1, 2 (0,1,2,3) k ak， 且 3 0a. 则A中所有元素之和等于（） （ A）3240（B）3120（C）2997（D）2889 3 第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题共6 小题，每小题5分，共 30 分. 9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间将测试结果分成5组：13 14),，14 15),， 15 16),，16 17),，17 18,，
4、得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的5个小矩形的面积之比为 1:3:7:6:3，那么成绩在16,18的学生人数是 _ 10 6 (2)x的展开式中， 3 x的系数是 _ （用数字作答） 11. 如图，AC为O的直径，OBAC，弦BN交AC 于点M若3OC，1OM，则MN_ 12. 在极坐标系中，极点到直线:l sin()2 4 的距离是 _ A B C O M N 4 13. 已知函数 1 2 2 ,0, ( ) ,20, xxc f x xxx 其中 0c 那么( )f x的零点是_；若 ( )f x的 值域是 1 ,2 4 ，则c的取值范围是 _ 14. 在直角坐标系xOy中， 动
5、点A，B分别在射线 3 (0) 3 yx x和3 (0)yx x 上运 动，且 OAB的面积为1则点A，B的横坐标之积为 _；OAB周长的最小值 是 _ 三、解答题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13 分） 在ABC中，已知sin()sinsin()ABBAB （）求角A； （）若|7BC，20ACAB，求|ABAC 16. （本小题满分13 分） 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜， 比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同 （）求甲以4比1获胜的概率； （）求乙获胜且比赛局数多于5局
6、的概率； 5 （）求比赛局数的分布列. 17 （本小题满分14 分） 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，60DBFDAB，且FAFC （）求证：AC平面BDEF； （）求证：FC平面EAD； （）求二面角BFCA的余弦值 18. （本小题满分13 分） 已知函数( )e(1) ax a f xa x ，其中1a. （）当1a时，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （）求)(xf的单调区间 . 19. （本小题满分14 分） 已知椭圆:C 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 5 3 ，定点(2,0)M，椭圆短轴的端 点是 1 B， 2 B，且 12 MB
7、MB. （）求椭圆C的方程； （）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点 . 试问x轴上是否存在定 点P， 使PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. E C B A D F 6 20. （本小题满分13 分） 对于数列 12 :,(,1,2, ) nni Aa aaainN，定义“T变换”：T将数列 n A变换 成数 列 12 :, nn Bb bb，其中 1 | (1,2,1) iii baain，且 1 | nn baa，这种“T变 换”记作() nn BT A. 继续对数列 n B进行“T变换”，得到数列 n C，依此类推，当得 到的数列各项均为0时变换结
8、束 （） 试问 3 :4,2,8A和 4:1,4,2,9 A经过不断的 “T变换” 能否结束？若能，请依次写 出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由； （）求 3123 :,Aa aa经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件； （）证明： 41234 :,Aa aaa一定能经过有限次“T变换”后结束 7 数学 （理科） 参考答案及评分标准 20 12.4 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1. C ； 2. D ； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D . 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9.54； 1
9、0.160； 11.1； 12.2； 13. 1和0，(0,4； 14. 3 2 ，2(12). 注： 13 题、 14 题第一问2 分，第二问3 分. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 15. （本小题满分13 分） （）解：原式可化为BABABABsincos2)sin()sin(sin 3 分 因为(0, )B，所以0sinB， 所以 2 1 cosA 5 分 因为(0, )A， 所以 3 A 6 分 （）解：由余弦定理，得 222 |2| cosBCABACABACA 8 分 因为|7BC，| cos20AB ACABACA， 所以 22 |89ABAC 10 分 因为 22
10、2 |2129ABACABACAB AC， 12 分 所以|129ABAC 13 分 16. （本小题满分 13 分） （）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 2 1 1 分 8 记“甲以4比1获胜”为事件A， 则 3343 4 1111 ( )C ( ) () 2228 P A 4分 （）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B. 因为，乙以4比2获胜的概率为 335 3 15 1115 C ( ) ( ) 22232 P， 6 分 乙以4比3获胜的概率为 336 3 26 1115 C () ( ) 22232 P， 7 分 所以 12 5 () 16 P BPP
11、8 分 （）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7 44 4 11 (4)2C () 28 P X， 9 分 334 3 4 1111 (5)2C () () 2224 P X， 10 分 335 2 5 1115 (6)2C () ( ) 22216 P X， 11 分 336 3 6 1115 (7)2C () () 22216 P X 12 分 比赛局数的分布列为： X4567 P 1 8 1 4 5 16 5 16 13 分 17. （本小题满分14 分） （）证明：设AC与BD相交于点O，连 结FO 因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC， 且O为AC中点 1 分 又F
12、CFA，所以ACFO 3 分 因为OBDFO， 所以AC平面BDEF4 分 （）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形， 所以AD/BC，DE/ BF， 所 以平 面FBC/ 平 面EAD 7分 9 又FC平面FBC， 所以FC/ 平面EAD 8分 （）解：因为四边形BDEF为菱形，且60DBF，所以DBF为等边三角形 因为O为BD中点，所以BDFO，故FO平面ABCD 由OFOBOA,两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系xyzO 9 分 设2AB因为四边形ABCD为菱形，60DAB，则2BD，所以1OB， 3OAOF 所以)3, 0,0(),0,0,3(),0 , 1 , 0(),0
13、 ,0 ,3(),0,0 ,0(FCBAO 所以(3,0,3)CF，( 3,1,0)CB 设平面BFC的法向量为= ()x,y,zn，则有 0, 0. CF CB n n 所以 03 ,033 yx zx 取1x，得)1,3, 1(n 12 分 易知平面AFC的法向量为(0,1,0)v 13 分 由二面角BFCA是锐角，得 15 cos, 5 n v n v n v 所以二面角BFCA的余弦值为 5 15 14 分 18. （本小题满分13 分） （）解：当1a时， 1 ( )e(2) x f x x ， 2 11 ( )e(2) x fx xx 2 分 由于(1)3ef，(1)2ef， 所以
14、曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程是2ee0 xy 4 分 （）解： 2 (1)(1)1 ( )e ax xax fxa x ，0 x 6 分 10 当1a时，令( )0fx，解得1x )(xf的单调递减区间为(, 1)；单调递增区间为( 1,0)，(0,) 8 分 当1a时，令( )0fx，解得1x，或 1 1 x a 当01a时，)(xf的单调递减区间为(, 1)， 1 (,) 1a ；单调递增区 间为( 1,0)， 1 (0,) 1a 10 分 当0a时，( )fx为常值函数，不存在单调区间 11 分 当 0a 时，)(xf的单调递减区间为( 1,0)， 1 (0,) 1
15、a ；单调递增区间为 (, 1)， 1 (,) 1a 13 分 19. （本小题满分14 分） （）解：由 222 2 22 5 1 9 abb e aa ，得 2 3 b a . 2 分 依题意 12MB B是等腰直角三角形，从而2b，故3a. 4 分 所 以椭圆C的方程是 22 1 94 xy . 5 分 （）解：设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，直线AB的方程为2xmy. 将直线 AB的方程与椭圆C的方程联立， 消去x得 22 (49)16200mymy. 7 分 所以 12 2 16 49 m yy m ， 12 2 20 49 y y m . 8 分 若PF平分 APB，则直线PA，PB的倾斜角互补， 所以0 PBPA kk. 9 分 设( ,0)P a，则有 12 12 0 yy xaxa . 11 将 11 2xmy， 22 2xmy代入上式， 整理得 1212 12 2(2)() 0 (2)(2) my yayy myamya ， 所以 1212 2(2)()0my yayy. 12 分 将 12 2 16 49 m yy m ， 12 2 20 49 y y m 代入上式， 整理得( 29)0am. 13 分 由于上式对任意实数m都成立，所以 9 2
