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1、南昌市 10所省重点中学命制2013 届高三第二次模拟突破冲刺（二） 数学（理）试题 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的 . 1已知集合 2 |10Mx x, 1 1 |24, 2 x NxxZ,则MN( ) A0, 1B 1C 1 ,0 , 1D 2在复平面内 ,复数54 , 12ii对应的点分别为A,B 若 C 为线段 AB 的中点 ,则点 C 对应的复数的 模是 ( ) A13B13C2 13D2 10 3下列函数中既是偶函数,又是区间( 1,0)上的减函数的是( ) AcosyxB1xyC x x y 2 2
2、 lnD xx eey 4已知函数 2 ,1 ( ) (1),1 x x fx f xx ,则 2 (log 7)f=( ) A 7 16 B 7 8 C 7 4 D 7 2 5一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边 三角形 ,则这个几何体的体积为 ( ) A (4) 3 3 B (8) 3 6 C (8) 3 3 D(4)3 6已知实数,x y满足条件 08,07, 012, 10672, 0219, , xy xy xy xy x yZ 则使得目标函数 450350zxy取得最大值的, x y的值分别为 ( ) A0，12 B12，0 C8，4 D 7，5 7 函数 sin()
3、(0)yx 的部分图象如右图所示,设P是图象的最高点, ,A B是图象与x轴的交点 , 记APB,则sin2的值是 ( ) A 16 65 B 63 65 C 16 63 D 16 65 8下列命题中 :“xy” 是“ 22 xy” 的充要条件 ; 已知随机变量X服从正态分布 2 (3,)N,(6)0.72P X,则(0)0.28P X; 若 n 组数据 1122 (,),(,),(,) nn xyxyxy的散点图都在直线21yx上,则这 n组数据的相关系数 为 1r ; 函数 1 ( )( ) 3 x f xx的所有零点存在区间是 1 1 ( ,) 3 2 .其中正确的个数是( ) A1 B
4、2 C3 D4 9如右图所示， 单位圆中弧AB的长为x,( )f x表示弧AB与弦AB所围成的弓形 （阴影部分） 面积的 2 倍，则函数( )yf x的图象是 ( ) 10抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F,点,A B在此抛物线上,且90AFB,弦AB的中点M在该抛 物线准线上的射影为M,则 | | MM AB 的最大值为 ( ) A3B 3 2 C1 D 2 2 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 11 下图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值 ,输出相应的y值若要使输入的x值与输出的y值 相等 ,则这样的x值有 _个. 12一个盒子里有20 个大小形状相同的
5、小球，其中5 个红球， 5 个黄球， 10 个绿球，从盒子中任取 一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是_. 13已知二项式 5 3 1 ()x x 展开式中的常数项为p,且函数 2 2 1, 10 ( ) 3,01 10 xx f x p xx ,则 1 1 ( )f x dx_. 14 已知数列 n a为等差数列 ,若 m aa, n ab * (1,)nmm nN,则 m n nbma a nm .类比上述结论, 对于等比数列 n b * (0,) n bnN,若, mn bc bd * (2,)nmm nN,则可以得到 m n b _. 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若
6、两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共 5 分. 15.(1) （极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中 ,和极轴垂直且相交的直线l 与圆4相交于,A B两 点,若| 4AB,则直线 l 的极坐标方程为_. (2)（不等式选做题）不等式 2 |3|1|3xxaa对任意实数x恒成立 ,则实数a的取值范围是 _. 四、解答题：本大题共6 小题，共75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12 分） 已知向量 1 (sin , 1),( 3cos ,) 2 axbx,函数( )()2.f xaba (1)求函数( )f x的最小正周期T 及单调减区间; (2)已知 a
7、，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，其中A 为锐角，2 3a,4c,且( )1f A.求 A，b 的长和ABC 的面积 . 17.（本小题满分12 分） 小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下 一 关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000 元,3000 元,6000 元的奖品 (不重复得奖 ),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为 4 3 2 , 5 4 3 ,且每个 问题回答正确与否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的
8、价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望 . 18.（本小题满分12 分） 各项均为正数的数列 n a前n项和为 n S,且NnaaS nnn , 124 2 . (1)求数列 n a的通项公式 ; (2)已知公比为)(Nqq的等比数列 n b满足 11 ab，且存在Nm满足 mm ab, 31mm ab,求 数列 n b的通项公式 . 19.（本小题满分12 分） 如图，在正三棱柱 111 CBAABC中，ABAA2 1 ，N是 1 CC的中点，M是线段 1 AB上的动点（与 端点不重合） ，且 1 ABAM. (1)若 2 1 ，求证 : 1 AAMN; (2)若直线MN与平面A
9、BN所成角的大小为，求sin的最大值 . 20.（本小题满分13 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 3 2 . (1)求椭圆C的标准方程 ; (2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数 列，求OMN面积的取值范围. 21.（本小题满分14 分） 已知函数 2 ( )ln(1)f xxkx（kR）. (1)若函数( )yf x在1x处取得极大值,求k的值 ; (2)0,)x时,函数( )yf x图象上的点都在 0 0 x yx 所表示的区域内 ,求k的取值范围 ; (3)证明 :2)12ln
10、( 12 2 1 n i n i ， Nn. 2013 届高 三 模 拟 试 卷 （ 02 ） 数 学 （ 理 ） 【 参 考 答 案 】 二、填空题 11.3 12. 2 3 13.2 4 14.bmn nm dn cm.解析：观察 a n的性质： amnnbma nm ,则联想nbma 对应等比数列bn中的 dn cm, 而an 中除以 ( n m)对应等比数列中开 (nm)次方 ,故 bmn nm d n cm. 三、选做题 15.（1）cos2 3. 解析：设极点为O,由 该圆的极坐标方程为 4,知该圆的半径为4,又直线l 被该圆截得的弦长|AB|为 4,所以 AOB 60 ,极点到直
11、线l 的距离为 d4 cos30 2 3,所以该直线 的极坐标方程为cos2 3. （2）1a或4a.解析 ： f(x) |x3|x1| 4x 3， 2x2 3x 1， 4x1. 画出函数f(x)的图象 ,如图 , 可以看出函数f(x) 的最大值为4,故只要 a23a4即可 ,解得1a或4a. 四、解答题 16.解析： (1)( )sin(2) 6 f xx（ 2 分） ,T（4 分） 单调递减区间是 5 ,() 36 kkkZ（ 6 分） (2)( )1 3 fAA; 8 分） sin sin1 cA C a2 C 6 B2b（ 10 分） 1 22 32 3 2 ABC S. （12 分）
12、 17.解析： (1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1, 则 P1 4 5 2 1 4 3 4 1 4 7 25. （ 4 分） (2)X 的取值为0,1000,3000, 6000,则 P(X0)1 5 4 5 1 5 9 25, P(X1000) 4 5 2 1 4 3 4 1 4 7 25, P(X3000) 4 5 2 3 4 2 1 2 3 2C1 2 2 3 2 1 3 7 75, P(X6000) 4 5 2 3 4 2 2 3 2C1 2 2 3 2 1 3 4 15, X 的概率分布列为 （10 分） (错一列扣2 分，扣完为止) X 的数学期望EX09 251000
13、7 253000 7 756000 4 152160. （ 12 分） 18.解析： (1)124 2 nnn aaS，124 1 2 11nnn aaS 两式相减得： nnnnn aaaaa224 1 22 11 ，（2 分） 即0)2)( 11nnnn aaaa2 1nn aa，（4分） n a为首项为1，公差为2 的等差数列，故12nan （6 分） (2) 1n n qb，依题意得 52 12 1 mq mq m m ，相除得 N mm m q 12 6 1 12 52 （ 8 分） 312112mm或，代入上式得q=3 或 q=7，（10 分） 1 7 n n b或 1 3 n n
14、b.（12 分） 19.解析：如图 ,建立空间直角系,则 11 13 (1,0,2),( ,0,2),(1,0,0),(,1),(0,0,2) 22 BMBNA（ 1 分） (1)当 2 1 时,)1 ,0 , 2 1 (M,此时 3 (0,0) 2 MN, 1 (0,0,2)AA ,（ 3 分） 因为 1 0MNAA，所以 1 MNAA.（5 分） X 0 1000 3000 6000 P 9 25 7 25 7 75 4 15 (2)设平面 ABN 的法向量),(zyxn，则 0 0 ANn ABn ， 即 0 2 3 0 zy x ，取)3,2, 0(n。而)21 , 2 3 , 2 1
15、 (MN，（7 分） nMN ,cossin 2557 32 22 1 2 1 557 32 （9 分） 10，1 1 ，故 2 2 34 64630 sin 105 105 11 7552 （ 11 分） 当且仅当 4 51 ，即 5 4 时，等号成立 . （12 分） 20.解析 :(1)由已知得 222 222 3 2 ab c a cab 2 1 a b C方程： 2 2 1 4 x y（4 分） (2)由题意可设直线l的方程为：ykxm(0,0)km 联立 2 2 1 4 ykxm x y 消去y并整理，得： 222 (14)84(1)0kxkmxm 则 2222 6416(14)(
16、1)k mkm 22 16(41)0km, 此时设 11 (,)M xy、 22 (,)N xy 2 1212 22 84(1) , 1414 kmm xxx x kk 于是 22 12121212 ()()()y ykxmkxmk x xkm xxm（7 分） 又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列， 22 2121112 1212 ()yyk x xkm xxm k xxx x 22 2 2 8 0 14 k m m k 由 0m 得： 2 1 4 k 1 2 k.又由 0得： 2 02m 显然 2 1m（否则： 12 0 x x，则 12 ,x x中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率 不存在，矛盾！ ）（10 分） 设原点O到直线l的距离为d,则 2 12 2 11 1 22 1 OMN m SM
