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1、函数的零点【题型一】函数的零点个数【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。【例1】已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。变式：已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间0,2上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则【答案】 -8【解析】因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间0,2上 是增函数，所以在区间-2,0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)=m(m0) 在区间上有四个不
2、同的根，不妨设，由对称性知，所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【题型二】复合函数的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。【解题技巧】函数的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想分两步进行。即令，则 第一步：先判断的零点个数情况 第二步：再判断的零点个数情况【例2】已知函数 设，其中，求函数的零点个数1（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数.若方程在l,2恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围(注:1n20.69):【题型三】如何运用导数求证函数“存在、
3、有且只有一个”零点【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：如果函数在区间上是一条连续不断曲线，并且，则函数在区间上至少有一个零点。即存在一点，使得，这个也就是方程的根.（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：如果函数在区间上是单调函数，并且，则函数在区间上至多有一个零点。【例3】设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 变式：设函数，。若方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围；解析：方程在区间上有
4、唯一实数解等价于方程在区间上有唯一实数解。记，则， 令，得：，当时，递增；当时，递减。所以。易求得：，。为使方程在区间上有唯一实数解，则直线与函数的图象有唯一交点，根据的图象可知： 或 。故的取值范围是。【例4】已知函数在上没有零点，求的取值范围；【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点【例5】（2013江苏卷）设函数，其中为实数若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论基础练习：1己知，其中常数 （1）当时，求函数的极值； 2已知函数f（x）m（x1）22x3lnx ，mR当m0时，若曲线yf（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线yf（x）有且只有一个公共点，求实数m的值3已
5、知函数(,为自然对数的底数).若直线与曲线没有公共点,求的最大值.4已知函数f（x）=x3+x2-ax-a,xR,其中a0若函数f（x）在区间（-2,0）内恰有两个零点,求a的取值范围；5设，函数 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点；参考答案与解析【例1】解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。【例2】令，则： (1)先讨论关于 的方程即
6、根的情况：在区间上单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增。 描绘出函数的草图，并据草图可得：方程根的情况如下表所示：C的取值范围根的个数根或根的范围2个根或3个根 、2个根或(2)下面考虑方程即根的情况：据上述表格及图形和的根的情况如下表根的个数根的范围根的个数2个根、3个根5个根2个根3个根、3个根9个根3个根3个根2个根、3个根5个根2个根综上所述：当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【例3】解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根
7、. 解得 或.【例4】 方法一：当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而 当时，由，解得，当时，单调递减；当时，单调递增所以函数在上有最小值为，令，解得，所以 综上所述， 方法二：当， 当时，显然不成立；当且时，令，则，当时，函数单调递减，时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又，由题意知【例5】0在上恒成立，则ex，故：（）若0，令0得增区间为（0，）；令0得减区间为（，）当x0时，f（x）；当x时，f（x）；当x时，f（）lna10，当且仅当时取等号故：当时，f（x）有1个零点；当0时，f（x）有2个零点（）若a0，则f（x）lnx，易得f（x）有1个零点（）
8、若a0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，当x0时，f（x）；当x时，f（x）此时，f（x）有1个零点综上所述：当或a0时，f（x）有1个零点；当0时，f（x）有2个零点练习1、【答案】（1）有极小值0，没有极大值 【解析】函数的定义域为，（1）当时， 而在上单调递增，又，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值 2、【解析】由f（x）mxm2，得f（1）1，所以曲线yf（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为yx2 由题意得，关于x的方程f（x）x2有且只有一个解，即关于x的方程m（x1）2x1lnx0有且只有一个解 令g（x）m（x1）2x1lnx（x0）则g
9、（x）m（x1）1（x0） 当0m1时，由g（x）0得0x1或x，由g（x）0得1x，所以函数g（x）在（0，1）为增函数，在（1，）上为减函数，在（，）上为增函数又g（1）0，且当x时，g（x），此时曲线yg（x）与x轴有两个交点故0m1不合题意 当m1时，g（x）0，g（x）在（0，）上为增函数，且g（1）0，故m1符合题意当m1时，由g（x）0得0x或x1，由g（x）0得x1，所以函数g（x）在（0，） 为增函数，在（，1）上为减函数，在（1，）上为增函数又g（1）0，且当x0时，g（x），此时曲线yg（x）与x轴有两个交点故m1不合题意综上，实数m的值为m1 3、【答案】解: 当时,
10、令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 5、【答案】（1）；（2）见解析； 【解析】（1）依题， 在上是单调增函数；（2） ， 且， 在上有零点，又由（1）知在上是单调增函数，在上仅有一个零点；【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出的导数，第（2）问首先要说明内有零点再结合函数在单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得对比要证明的结论后要能认清的放缩作用并利用导数证明成立，则易证
