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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 第一卷 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1已知集合M=1,2，zi，i，为虚数单位 ,N=3,4，则复数z= A.-2i B.2i C.-4i D.4i 2函数 y=xln(1-x)的定义域为 A （0,1）B.0,1) C.(0,1 D.0,1 3等比数列x，3x+3， 6x+6， . 的第四项等于 A-24 B.0 C.12 D.24 4总体有编号为01,02, ,19,20的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取5 个个体，选取方法是从 随
2、机数表第1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5 个个体的编 号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 5(x2- 3 2 x )5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-40 6若 222 2 123 111 1 , x Sx dx Sdx Se dx x 则 123 S S S的大小关系为 A. 123 SSSB. 213 SSS C. 231 SSSD. 321 SSS
3、7阅读如下程序框图，如果输出 5i ，那么在空白矩形框中应填入的语句为 A.2*2SiB.2*1SiC.2*SiD.2*4Si 8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面 与直线 CE ，EF相交的平面个数分别记为,m n，那么mn A.8 B.9 C.10 D.11 9.过点(2,0)引直线l与曲线 2 1yx相交于 A,B两点， O 为坐标原点，当AOB的面积取最大值 时，直线l的斜率等于 A.yEBBCCD 3 3 B. 3 3 C. 3 3 D.3 10.如图， 半径为 1 的半圆 O 与等边三角形ABC夹在两平行线， 12 ,ll之间l/
4、 1 l,l与半圆相交于F,G 两 点，与三角形ABC两边相交于，两点，设弧FG的长为(0)xx，yEBBCCD，若l 从 1 l平行移动到 2 l，则函数( )yf x的图像大致是 来源 :学&科 &网 第卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共 20 分。 11.函数 2 sin 22 3sinyxx的最小正周期为T为。 12.设 1 e， 2 e为单位向量。且 1 e， 2 e的夹角为 3 ，若 12 3aee， 1 2be，则向量a在b方向上的射 影为 13设函数( )f x在(0,)内可导，且() xx f exe，则(1) x f 14.抛物线 2 2(0)xpy p的焦点
5、为F，其准线与双曲线 22 1 33 xy 相交于,A B两点，若ABF为 等边三角形，则P 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5 分 15 （1） 、 （坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为 2 xt yt （t为参数），若以直角坐标系 的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为 （2） 、 （不等 式选做题）在实数范围内，不等式211x的解集为 四解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12 分）在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
6、 cosC+ （conA-sinA） cosB=0. （1）求角 B 的大小；若a+c=1，求 b 的取值范围 17. （本小题满分12 分）正项数列an的前项和 an满足： 222 (1)()0 nn snnsnn （1）求数列 an的通项公式 an； （2）令 22 1 (2) n n b na ，数列 bn的前n项和为 n T。证明：对于任意的 * nN，都有 5 64 n T 18.（本小题满分12 分） 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规则为：以O 为起点，再从 12345678 ,AAAAAAAA(如图 )这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两
7、个向量的数 量积为X.若0X就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。 （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X的分布列和数学期望。 19（本小题满分12 分） 如图，四棱锥 PABCD 中， PA ,ABCD EBD平面为的中点， GPD为的中点， 3 ,1 2 DABDCB EAEBABPA，连接CE并延长交AD于F.来 源:Zxxk.Com (1) 求证：ADCFG平面； (2) 求 平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值. 20. (本小题满分13 分) 如图，椭圆 22 22 +=1( 0) xy Ca b ab ：经过点 3 (1, ), 2 P离心率 1 = 2 e，直线l的方
8、 程为=4x. （1）求椭圆C的方程； （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P） ，设直线AB与直线l相交于点M，记 ,PA PB PM的斜率分别为 123 ,.k k k问：是否存在常数，使得 123 +=.kkk？若存在求的 值；若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14 分) 已知函数 1 ( )= (1-2-) 2 f xax，a为常数且0a. (1) 证明：函数( )f x的图像关于直线 1 = 2 x对称； (2) 若 0 x满足 00 ( ()=f f xx，但 00 ()f xx，则称 0 x为函数( )f x的二阶周期点，如果( )f x有两个二 阶周期点 12 ,
9、x x试确定a的取值范围； (3) 对于（ 2）中的 12 ,x x和a， 设 x3为函数 f（f（x） ）的最大值点，A（x1，f（ f（x1） ） ） ，B（ x2，f（f （x2） ） ） ，C（ x3，0） ，记 ABC的面积为 S（a） ，讨论 S （ a）的单 调性 . 2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 11.12. 5 2 13. 2 14. 6
10、 三、选做题：本大题5 分。 15. （1） 2 cossin0（2）0,4 四、解答题：本大题共6 小题，共75 分。 16. （本小题满分12 分） 解： （1）由已知得cos()coscos3sincos0ABABAB 即有sinsin3sincos0ABAB 因为sin0A，所以sin3 cos0BB，又cos0B，所以tan3B， 又0B，所以 3 B。 （2）由余弦定理，有 222 2cosbacacB。 因为 1 1,cos 2 acB，有 22 11 3() 24 ba。来源 :Zxxk.Com 又01a，于是有 2 1 1 4 b，即有 1 1 2 b。来源 :学科网 ZXX
11、K 17.（本小题满分12 分） （1）解：由 222 (1)()0 nn SnnSnn，得 2 () (1)0 nn SnnS 。 由于 n a是正项数列，所以 2 0, nn SSnn。 于是 11 2,2aSn时， 22 1 (1)(1)2 nnn aSSnnnnn。 综上，数列 n a的通项2 n an。 （2）证明：由于 22 1 2 , (2) nn n n an b na 。 则 2222 1111 4(2)16(2) n n b nnnn 。 222222222 1111111111 1 1632435(1)(1)(2) n T nnnn 2222 1111115 1(1) 1
12、62(1)(2)16264nn 。 18.（本小题满分12 分） 解： （1）从 8 个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有 2 8 28C种，0时，两向量夹角为直角共有 8 种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为 82 (0) 287 P。 （2） 两向量数量积的所有可能取值为2, 1,0,1,2时， 有两种情形；1时， 有 8 种情形；1 时，有 10 种情形。所以的分布列为：来源 :Zxxk.Com 21 0 1 P 1 14 5 14 2 7 2 7 15223 ( 2)+( 1)01 14147714 E。 19.（本大题满分12 分） 解： （1）在ABD中，因为E是BD的中点，
13、所以1EAEBEDAB, 故, 23 BADABEAEB， 因为DABDCB,所以EABECB, 从而有FEDFEA， 故,EFAD AFFD,又因为,PGGD所以FGPA。 又PA平面ABCD， 所以,GFAD故AD平面CFG。 （3）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则 33 (0,0,0),(1,0,0),(,0),(0,3,0) 22 ABCD, （4） 3 (0,0,) 2 P，故 1333 333 (0),(,),(,0) 2222222 BCCPCD， 设平面BCP的法向量 111 (1 ,)ny z，则 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz ， 解得 1
14、1 3 3 2 3 y z ，即 1 3 2 (1,) 33 n。 设平面DCP的法向量 222 (1,)nyz，则 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz ，解得 2 2 3 2 y z ， 即 2 (1, 3,2)n。从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为 12 12 4 2 3 cos 4 16 8 9 nn nn 。 20.（本大题满分13 分） 解： （1）由 3 (1, ) 2 P在椭圆上得， 22 19 1 4ab 依题设知2ac，则 22 3bc 代入解得 222 1,4,3cab。 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 。来源 :学.科.网 （2）方法一
15、： 由题意可设AB的斜率为k， 则直线AB的方程为(1)yk x 代入椭圆方程 22 3412xy并整理，得 2222 (43)84(3)0kxk xk， 设 1122 (,),(,)A x yB xy，则有 22 121222 84(3) , 4343 kk xxx x kk 来源 :Zxxk.Com 在方程中令4x得，M的坐标 为(4,3 )k。 从而 12 123 12 333 3 1 222 , 11412 yyk kkkk xx 。来源 :学科网 ZXXK 注意到,A F B共线，则有 AFBF kkk，即有 12 12 11 yy k xx 。 所以 12 12 12 121212
16、 33 311 22 () 1111212 yy yy kk xxxxxx 12 1212 23 2 2()1 xx k x xxx 代入得 2 2 1222 22 8 2 3 43 221 4(3)8 2 1 4343 k k kkkk kk kk ， 又 3 1 2 kk，所以1232kkk。故存 在常数2符合题意。 方法二： 设 000 (,)(1)B xyx，则直线FB的方程为： 0 0 (1) 1 y yx x ，来源 :学科网 令4x，求得 0 0 3 (4,) 1 y M x ， 从而直线PM的斜率为 00 3 0 21 2(1) yx k x ， 联立 0 0 22 (1) 1 1 43 y yx x xy ，得 00 00 583 (,) 25 25 xy A xx ， 则直线PA的斜率为： 00 1 0 225 2(1) yx k x ，直线PB的斜率为： 0 2 0 23 2(1) y k x ， 所以 00000 123 000 2252321
