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1、 湖南第一师范学院 HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY线性规划与数学建模考查论文论文题目:层次分析法-电脑的选择姓 名专业班级及学号分工成绩评定组员1尹婷11607262109模型的建立，求解以及论文的撰写组员2伍聪11607262120模型的建立，求解以及论文的撰写摘要现如今，电脑对生活越来越重要，如何能够正确的根据自己的需求选择电脑显得尤为重要。本文就联想，同方，惠普，戴尔四个厂家的产品对其功能，价格，质量和售后采用层次分析法分析购买电脑的问题。首先，本文在对笔记本的功能，价格，质量和售后进行详细深入了解的基础上制定了适应与所有笔记本的各影响因素的标准，并在该标准的
2、前提下，统计了四大电脑公司最新系列的电脑的功能，价格，质量和售后等数据，基于数据分析，借鉴层次分析法建立模型，并列出成对比较矩阵。然后，求成对比较矩阵的相对权重，通过资料得到了三种不同的求最大特征根和特征向量的方法，分别为：方根法，幂法，和积法。本文采取的是和法。计算出成对比较矩阵的最大特征根，并将与之对应的特征向量归一化，得到相应元素对应的权重，并进行一致性检验。最后，利用公式计算出组合权重组合一致性指标，可得出从联想，同方，惠普和戴尔四种品牌的电脑中，最佳选择为惠普电脑。关键词：层次分析法，一致性检验，权重组合一、问题重述 面对市场上各种品牌电脑，人们的选择范围越来越广，也对电脑的选择越来
3、越迷茫，如何选择一款电脑适合自己，对于购买者十分重要，合适的电脑才能使它发挥更充分的作用，所以如何选择一款合适的品牌的电脑是十分重要的。问题一:现在有四大电脑品牌：联想、清华同方、惠普、戴尔，你要从上面的四大品牌中购置一台个人电脑；问题二：考虑功能、价格、质量、售后服务等方面因素，如何做出决策；问题三：如果你比较支持国产品牌，但也不排除选择国外品牌，那么你将如何做出决策。二、问题分析问题的目的在于考察各种品牌的新产品对目标产品的权重。以联想为例，联想在功能、价格、材质、售后服务上的侧重与其他电脑品牌不同，这也是为了满足购买者的不同需要，以形成自己的竞争力。电脑的选择与以下因素相关:公司知名度，
4、产品配置，主频，内存容量，大众消费倾向 屏幕尺寸，产品附加值，等等很多因素决定。但是，我们为了简化问题仅考虑以下决定因素：电脑选择功能价格质量售后图1 选择电脑的影响因素这是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而缺少定量数据的系统，要求的是一组元素对其上层中某元素的权重，这正是层次分析法可以解决的问题，所以本题采用层次分析法的建模思想。传统的层次分析法是“求权重，定 方案”，对应的有“目标层 O，准则层 C，方案层 P”。 根据层次分析法的建模步骤：1.建立层次结构模型；2.构造出各层次中的所有判断矩阵； 3.层次单排序及一致性检验； 4.层次总排序及一致性检验。最后即可得出各子准则对
5、目标层的权重。三、模型假设与约定根据上述分析，参考有关电脑的数据知识，作出以下简化假设：1.不考虑性别对电脑选择的影响，即在后面建模过程中不区分“男式电脑”和 “女式电脑”；2.购买电脑都是在同一个市场里选择电脑，即不考虑不同市场之间的电脑差价； 3.购买电脑的人都计划通过正规渠道购买新电脑，即不考虑购买者是通过 其他渠道使电脑降价(如在电脑市场有熟人可以降价或者购买“水货”等)以及所买电脑不是二手的； 4.在整个调查过程中，所分析电脑的价格不会发生较大变化。四、符号说明及名词定义CR:一致性比率；:一致性指标；:最大特征根；A:第二层对第一层的成对比较矩阵；:第三层对第二层的成对比较矩阵，k
6、=1,2,3,4；W:第二层对第一层的权向量；:第三层对第二层的权向量，k=1,2,3,4；五、模型建立1. 以层次分析法和基础建立模型（1）将决策问题分解成 4 个层次，最上层为目标层，即选择电脑，最下层为方案层， 有惠普、戴尔、联想、清华同方四种电脑品牌可供选择，中间层为目标层， 有主要质量、售后、价格、功能 4 个准则，各层间的联系用有方向的直线表示。（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，以及各方案对于每一准则的权重。 （3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。通过对资料和数据的分析研究建立了层次结构图,如下选择购买电脑的品牌目标层：
7、功能售后价格质量准则层：同方联想戴尔惠普方案层：图2 选择电脑品牌的层次结构 六、 模型求解1. 成对比较矩阵和权向量 电脑的选择问题跟自身的因素有很大的关系，因此人们都是根据自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受。Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。假设要比较某一层 n 个因素C1 、C2，., Cn对上层一个因素 O 的影响时，每次取两个因素Ci和Cj表示Ci和Cj对 O 的影响之比，全部比的结果可以用成对比较矩阵。我
8、们组用C1、C4依次表示质量、售后、价格和功能4个准则，为了求出在目标层A中所占的权值，构造O-C的成对比较矩阵，我们用成对比较法得到的成对比较阵（正反矩阵）为上面的行列式中a12 =5表示质量C1与售后C2对选择电脑品牌这个目标O的重要性之比为5:1；a13=3表示质量C1与价格C3之比为3:1；a14=2表示质量C1与功能C4之比为2:1。可以看出我们组在选择电脑时，质量因素最重要，功能次之，价格再次,最后是售后。我们组用和法计算出权向量和特征值：按列标准化 按行相加 标准化2. 一致性检验 将定义为一致性指标，CI=0 时 A 为一致阵，CI 越大 A 的不一致程度越严重。 随机一致性指
9、标 RI的数值当一致性比率 时认为A的不一致程度在容许范围之内。这一题的n=4，所以一致性指标为：一致性比率为：所以矩阵A具有较为满意的一致性。3.组合权向量 在电脑品牌决策问题中我们已经得到第2层（准则层）对第1层（目标层，只有一个因素）的权向量。用同样的方法构造第3层（方案层，见图1）对第二层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为这里的矩阵（k=1,4)中的元素是方案（电脑品牌）与对于准则（质量、价格等）的优越性的比较尺度。我们组用和法计算出这些矩阵的权向量和特征值,下面是具体步骤：按行相加按列标准化标准化按行相加按列标准化标准化按行相加按列标准化标准化按行相加按列标准化标准化4.一致性检
10、验由第3层的成对比较阵计算出权向量，当k为1、2、3、4是分别表示的是惠普、戴尔、联想和清华同方各因素的权重，最大特征根和一致性指标,结果列入下表。电脑决策问题第3层的计算结果K1 2 3 4wk 0.506 0.536 0.082 0.568 0.264 0.154 0.154 0.224 0.143 0.130 0.288 0.134 0.087 0.080 0.476 0.074k 4.023 4.024 4.095 4.021CIK 0.0077 0.0080 0.03167 0.0070从查表我们可以知道，当n=4时随机一致性指标RI=0.90，所以上面的均可以通过一致性检验。因此，
11、我们得计算出方案在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即=0.5060.483+0.5360.088+0.0820.157+0.5680.272=0.458=0.2640.483+0.1540.088+0.1540.157+0.2240.272=0.237=0.1430.483+0.130.088+0.2880.157+0.1340.272=0.173=0.0870.483+0.0800.088+0.4760.157+0.0740.272=0.132 于是组合权向量为，所以个人最佳选择品牌为惠普。七、模型评价1. 模型的优点本文采用了层次分析法建立模型，模型简单易懂，可信度高，易于操
12、作。层次分析法的主要用途是通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，它特别适用于难于完全用定量进行分析的复杂问题，基于这点，在研究此问题时，选用了此方法。 2. 模型的缺点（1）不同的购买者对电脑主要配置、价格、材质、售后服务的看重程度不同，也就意味着，这些相关因素对电脑选择的权重因人而异。 （2）影响笔记本价格的因素还有很多，比如随机配备，外观，品牌等，但考虑到现实情况，只选了一部分，选更多来处理，结果应该会更加准确。3.模型改进在此问题中，对电脑选择的影响因素非常抽象，因此本文采用了定量的思想。在定量之后，其实可以考虑采用非线性回归模型进行求解，以电脑选择为因变量 y，而定量化后的因素电脑功能、质量、价格、售后服务作为自变量 x1、x2、x3、 x4，从而通过求解此模型得出电脑选择与其它因素的定量关系。但由于时间缘故，未能建立相应的模型。八、模型推广该模型简洁实用的决策方法，使复杂的电脑选购问题分解，模型简单
