《定态薛定谔方程讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定态薛定谔方程讲义（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定态薛定谔方程一、定态 Schrdinger 方程(1)2(,)(),irtVrtm在一般情况下，从初始状态(r,0) 求 (r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形假设势场 V 不显含时间 t（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒） ，此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。与 t 无关时，可以分离变量()Vr令 (,)()rtft代入(1)式2()1()idftVrrmE其中 E 是即不依赖于 t，也不依赖于 r 的常量，这样(2)()ftiEftd(3) 定态薛定谔方程2()()Vrr由(2)解得 Eticetf)(其中 为任意常数。把常数 放到 里面
2、去，则ccr(4) (,)(iEtrte这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是 =/ 按照德布罗意关系E=h= ，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值 E，所以这种状态称为定态，波函数(r,t) 称为定态波函数。定态有两个含义：1、 ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的(,)(itErte依据）空间波函数 可由方程()Er2()()EEVrrm和具体问题 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态 Schrdinger 方程， 也()Er ()Er可称为定态波函数，或可看作是 t=0 时刻 E(r,0)的定态波函数。二
3、、Hamilton 算符和能量本征值方程1、Hamilton 算符(2)()diftft(3)2()EEVrr/(2),(1)iEtEre(,)(,)irtrt2,(,)VtErt再由 Schrdinger 方程： 2(,)(),irtrtm也可看出，作用于任一波函数 上的二算符, it2()VrH作用于体系任意一个波函数效果是相当的。这两个算符都称为能量算符。与经典力学相同， 称为 Hamilton 量，亦称 Hamilton 算符。2、能量本征值方程将2(),(,)VrtErt改写成(,)(,)HrtErt三、求解定态问题的步骤从数学上讲，对于任何 E 值，不含时的薛定谔方程（3）都有解，
4、但并非对于一切 E值所得出的解 (r)都满足物理上的要求。这要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边条件，周期性边条件，散射态边条件等。在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些 E 值所对应的解才是物理上可以接受的。这些 E 值称为体系的能量本征值，而相应的解 E(r)称为能量本征函数，不含时薛定谔方程（3）实际上就是在势场 V（r ）中粒子的能量本征方程。1、列出定态 Schrdinger 方程2()()rrm2、根据波函数三个标准条件（单值、连续、有限）求解能量 E 的本征值问题，得：本征值： E1，E 2，E n，本征函数： 1， 2， n
5、，3、写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数(,)()nnitnErtre4、通过归一化确定归一化系数 Cn 返回2()1nd四、定态的性质1、粒子在空间几率密度以及几率流密度与时间无关；2、任何不显含 t 的力学量平均值与 t 无关；3、任何不显含 t 的力学量的测值几率分布也不随时间变化。如果对于同一 E 值，存在几个线性无关的函数，满足同一定态方程，这种情况称为简并，其中线性无关函数的个数则称为对应能级的简并度。五、定态解的正交性属于不同能量的定态解彼此正交。若 EnE m，则有 0*rdnm即 m 与 n 正交。当 En=Em 时，如果能级不简并， m 与 n 实
6、为同一函数，故积分不为零，适当选取常数可使其归一化。如果能级简并，简并度为 f，则我们总可以从这 f 个线性无关的简并波函数中重新组合出 f 个函数，使其互相正交并归一化。于是定态解的全体满足以下正交归一化条件 mnnmnrd)(,*）（六、含时薛定谔方程的一般解定态是系统的稳定状态。注意，即使系统的哈密顿算符不显含时间，系统并非必须于定态。系统处于什么状态与初始情况有关。所以，一般情况下，我们尚需讨论在任意给定的初始条件下，系统将如何运动。薛定谔方程为一齐次线性微分方程，其通解可表示为诸特解的线性叠加 )(exp),(t,r rtEiCtrnnn ）（2012 年 10 月 22 日于河北工业大学北五 202
