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1、第四节 有理函数的积分,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,一、有理函数的积分,有理函数的形式,当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理 函数是假分式.,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即 具有如下形式的函数:,假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的 形式. 例如,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,则分解后为,（2）分母中若有因式 , 其中,特殊地：,分解后为,（3）真分式化为部分分式之和的方法(拼凑法,待定系数法, 赋值法),例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼
2、凑法,(2) 用赋值法,故,(3) 用待定系数法,四种典型部分分式的积分:,解,当n1时, 用分部积分法, 有,即,解,例1,例2,解,例3 求,整理得,解,例4. 求,解: 原式,思考: 如何求,提示:,变形方法同例4,并利用 P209 例9 .,注: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式,二 、可化为有理函数的积分举例,1. 三角函数有理式的积分,三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次 四则运算所构成的函数.可记为,（万能置换公式）,三角函数有理式的积分可化为有理函数积分,解,例7,注: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述 代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简 捷的代换.,例8,例9. 求,解:,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,解,例10,设,即xu32,则,例11. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例12. 求,解: 令,则,原式,作业：p-218 习题4-4 3 , 6 , 9 , 13 , 15, 17 , 20 , 23,
