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第四节 数量积 向量积,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,一、两向量的数量积,实例,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,关于数量积的说明：,证明,证明,数量积符合下列运算规律：,证明,而,所以,(1). 由数量积的定义有,(2).由数量积的定义有,由投影定理，可知,所以,从而得到,即,当 时，也可以类似地加以证明.,这就是两个向量的数量积的坐标表达式.,因此由分配律得到,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,的夹角.,这里,从而,解,代入两向量夹角余弦的表达式，得,由此得,证明,实例,二、两向量的向量积,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,向量积符合下列运算规律：,证明,下面来推导向量积的坐标表示式.,设,这就是向量积的坐标表达式.,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,按第一行展开就得到,根据向量积的定义，可知,例如，,解,三角形ABC 的面积为,解,所以,练习题解答,练习题,已知向量,证明,
