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1、,2,第三节 幂级数,一. 函数项级数的概念,设,称,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,称 为函数,项级数的收敛点 ,所有收敛点的全体称为函数项级数的,收敛域 ;,若常数项级数,称 为函数项级数的,发散点 ,为定义在区间 I 上的函数列,收敛,发散 ,所有发散点的全体称为函数项级数的发散域 .,3,在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的函数,称它为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,4,例如 , 等比级数,它的收敛域是,当 时 , 有和函数,它的发散域是,或写作,又如 , 级数,但当 时 ,级数发散 ;,当 时 收
2、敛 ,所以级数的收敛域仅为,5,二. 幂级数及其收敛性质,形如,的函数项级数称为幂级数 ,其中数列,称,下面着重讨论 的情形 , 即,例如 , 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,6,收敛,发散,定理 1 ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x ,幂级数都绝对收敛 ;,在,时收敛 ,反之 , 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,证: 设,于是存,收敛 ,在常数 M 0 , 使,则必有,当 时 ,收敛 ,也收敛 ,故原幂级数绝对收敛 .,7,假设有一点,反之 , 若当 时该幂级数发散 ,这与所设矛盾,故,满足不等式,下面用反证法
3、,进行证明 .,所以若当 时幂级数发散 , 则对一切,由Abel 定理可以看出 ,中心的区间 .,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,收敛,发散,的收敛域是以原点为,满足,且使级数收敛 ,前面的证明 ,根据,级数在点,也应收敛 ,假设不真 .,的 x , 原幂级数也发散 .,8,R = 0 时 , 幂级数,仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时 , 幂级数,在 收敛 ;,幂级数,在 收敛 ;,在 外发散 ;,在 可能收敛也可能发散 .,加上收敛的端点称为收敛区间 .,称为收敛半径,9,定理2. 若幂级数,的系数满足,则: 1) 当 时 ,2) 当 时 ,3) 当 时 ,证: 对级数,1) 若,
4、则根据比值审敛法可知,原级数收敛 ;,原级数发散 .,因此级数的收敛半径,10,2) 若,则根据比值审敛法可知,数绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数都,发散 ,对任意 x 原级,因此,因此,定理2,的收敛半径为,说明: 据此定理,11,的收敛半径及收敛区间 .,解:,对端点 x = 1 , 级数为交错级数,收敛,级数为,发散,故收敛区间为,对端点,例1.求幂级数,12,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛区间为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,13,例3. 求幂级数,的收敛区间 .,解: 令,级数变为,当
5、t = 2 时, 级数成为,此级数发散 ;,当 t = 2 时, 级数成为,此级数条件收敛 ;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,14,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,15,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,16,例5. 求幂级数,的收敛半径 .,解: 由于级数缺少奇次幂项 , 不能直接应用定理 2 .,可直接根据比值审敛法求收敛半径 . 方法如下:,当,时级数收敛,当,时级数发散,故收敛半径为,即,即,17,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,18,原级数发散.,收敛;,发散;,19,三. 幂级数的运算,定理3 设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,其中,以上结论可
6、用部分和的极限证明 .,为常数 ) ,则有 :,20,定理4 若幂级数,的收敛半径,则其,(证明略),和函数,在收敛区间上连续 ,且在收敛区间内可逐,项求导与逐项求积分:,21,22,例7. 求级数,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,故当,时,23,解,两边积分得,24,25,例9. 求级数,的和 .,解：设,则,26,例9 求级数,的和.,而,故,27,例10. 幂级数,在,解: 设,则,故,由,得,即有,收敛 , 试求其和 .,28,内容小结,1. 求幂级数收敛区间的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法 , 也可通过换元化为标准型再求 .,2. 幂级数的性质,1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算.,2) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分 .,29,作业11-3： P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3),
