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1、三、已知平行截面面积函数的 立体体积,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,6.2定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,
2、按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处 播放开始或暂停,到 2 所围图形面积 .,例6. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),心形线(外摆线的一种),即,点击图中任意点 动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个
3、确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),例7. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,例8. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,特别 , 当考虑连续曲线
4、段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,例9. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,例10. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限 !,注,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),例11. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成 角,解
5、: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,例12. 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,解: 利用对称性 ,故旋转体体积为,在第一象限,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,
