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1、, 一元微积分学,高 等 数 学 A（1）,第三讲 数列的极限,授课教师：彭亚新,第 二 章 极 限,本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “X ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。,第 二 章 极 限,第一节 数列的极限,一、数列及其简单性质,二、
2、数列的极限,三、数列极限的性质,四、数列的收敛准则,称为一个数列, 记为 xn .,1. 定义,数列中的每一个数称为数列的一项,xn = f (n) 称为数列的通项或一般项,一、数列及其简单性质,数列也称为序列,2. 数列的表示法,介绍几个数列,所有的奇数项,所有的偶数项,所有奇数项,3. 数列的性质,单调性,有界性,(1) 数列的单调性,单调增加,不减少的,单调减少,不增加的,统称为单调数列,数列,(2) 数列的有界性,回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形,我学过吗 ？,数列的有界性的定义,如何定义数列无界？,有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？,想想：,从数轴上看,
3、有界数数列 xn 的全部点,都落在某区间 (M*, M* ) 中.,观察例1 中的几个数列：,有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.,一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).,现在来讨论如何定义数列的无界：,首先看有界性定义的关键所在,对所有的,证,分析,二、数列的极限,0,0,1,极限描述的是变量的变化趋势.,x1,x3,x2n-1,x2n,x4,x2,x,0,(,(,(,),),),*,“ n 无限增大” 记为 n .,此时称数列,当 n 时以零为,极限, 记为：,这就是该数列的变化趋势,量化表示：n 时, xn a .,预先任意给
4、定一个正数 0, 不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始,以后的所有项,都落在 U(0, ) 中.,（在 U(0, ) 外面只有有限项）,一般地, 如果数列xn 当 n 时,列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为,xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数,此时, 也称数列是收敛的.,0,0,1,若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散.,若,此时, 也称数列 xn 是收敛的.,极限描述的是变量的变化趋势,数列的项不一定取到它的极限值.,数列极限的定义：,证,故取,则 n N 时,由极限的定义, 得,证,成立. 由极限的定义可知:,放大不等式法,证,通常
5、说成：常数的极限等于其自身.,证,由绝对值不等式, 得,注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, (1)n.,证,逆命题成立吗？,证,1.唯一性定理,若数列 xn 收敛, 则其极限值必唯一.,想想, 如何证明它？,三、数列极限的性质,设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：,证,运用反证法,任意性,常数,由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .,唯一性定理的推论,充分必要条件,子数列的概念,在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为,唯一性定理的推论往往用来证明或
6、判断数列极限不存在,解,取子数列：,解,利用函数的周期性, 在 xn 中取两个子数列:,2.有界性定理,若数列 xn 收敛, 则 xn 必有界.,证,即有,则,由数列有界的定义得：数列 xn 收敛, 则必有界.,该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, (1) n .,有界性定理的推论：,即 无界数列的极限不存在 .,无界数列必发散.,发散的数列不一定都无界 . 例如, (1) n .,收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界.,3.保号性定理,证,由绝对值不等式的知识, 立即得,a 0 的情形类似可证, 由学生自己完成 .,保号性定理的推论1：,这里为严格不等号时,此处仍是不严格不等号,由保号性定理, 运用反证法证明,保号性定理的推论2：,在极限存在的前提下, 对不等式两边可以同 时取极限, 不等号的方向不变, 但严格不等号也 要改为不严格不等号.,
