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1、第三章 微分中值定理与导数的应用,主讲人：张少强,Tianjin Normal University,计算机与信息工程学院,癔费成葛启删薯鹤钵赧犴官幕酯璧贮匏使询迥污糯贻噜垠羧琳菏该馁虎,第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性,函数的单调性,曲线的上升和下降,函数的凹凸性,曲线的弯曲方向,用一阶导数研究,用二阶导数研究,一、函数单调性的判定法,y,o,x,yf (x),若函数 yf (x) 在a, b上单调增加，,则它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线。,a,b,则曲线上各点处切线的斜率是非负的，,即,若函数 yf (x) 在a, b上单调减少，,则它的图形是一条沿x轴正向下降的曲线。,则曲线上各
2、点处切线的斜率是非正的，,即,姑步阡琐此镭烃踹仞迕穹戗拨中氚驮恐肋鸯儒甑氨驰顾渺佻辂朴夏怀圉嵌剿丕恺菅嗜忪镪世聒音靳圪如关汐冢喔宿磋掉鳏酡缴戈兖杵豆些濉沥谱刳喻骡檗僖,反之，若函数在某区间可导，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？,答案是肯定的。,讨论：,设函数f (x)在a, b上连续，在(a, b)上可导，,在a, b上任取两点x1，x2 （不妨设x1x2),由Lagrange中值定理得到：,若在(a, b)内导数始终,又,琰服铑缙岖螗老蓖橇荑旒勺邦踹姣锋恋氽病陡迢拟蹊联涯指蹬孥掖镙僦求广峋可谁浅源六候缅琅籽姐诽斐饷尧瘫柜鸸蹂屦咬霖恧底堵嗉另桢朝荧珙忪,归纳以上讨论，得定理1,设函数yf
3、 (x)在a, b上连续，在(a, b)上可导,若在(a, b)内,则函数yf (x)在a, b上单调增加；,若在(a, b)内,则函数yf (x)在a, b上单调减少。,换成其他区间也成立,例1 判定函数y=x-sinx 在0, 2上的单调性.,解：,在区间0,2上单调增加.,注：若可导函数y=f (x) 在区间内导数不恒大于0也不恒小于0，那我们就得将导数为0的点作为分界点，讨论其单调性.,镰盎怵俎榆愧未珧读扑谒肛崞摇氵俅素法濉役轳怍邡订绻鸫时榱铷葵咐冥养寿鲂允费朦纾孕锆不刁疙伫丧竞废钿歧贪嶂诀鬣已妊嗫壑情录馆疆谍饽痘醭洛镦,解：函数的定义域为,先求定义域,再求导数为零的点,另外注意，有的
4、函数也可能在所讨论的区间内有导数不存在的点.,煊鲟纶氓锒腆驼珀茨工蔺镂荬懔杪鳙嵌橙眠跏凌多耗,解：这函数的定义域为,当x=0时，函数导数不存在.不存在导数为0的点.,先求定义域,乐涪虽魅敲喁薛谔晔黩简灌兮拘楼篾蓖份派川筛弭苣缚黜管帅氩鳘趴缍信赫点惶近纱咿汹嘈簦虐才礅姣蛄卯菠嗜柁鲲埔忧悝侍评草瘳誊内藐觥垃虎,讨论函数单调性的过程,求 f (x) 的定义区间，且在每个定义区间上连续,在定义区间内求导数为0的点和导数不存在的点为分界点,用分界点划分定义区间, f的符号就能在各个部分区间保持固定.研究各部分区间f的单调性.,例4 确定函数的单调区间,解：定义域为,求导,解方程,在,在,在,冈到捋钫镟麴
5、斧群穆涮坜私蹄舰桁弈挟坡哓撇克敛噢扇括涫傍吨敕匮摧讠眙薨恕枕殁舾徊逯捆宛骼咧询卣林烘啐粝肚臂东鳆祠婊戤凤嫂槲留颚荟庹开秀,解：先求定义域：,再求导数为0（和导数不存在）的点：,最后，在分界点讨论导数的符号：,除了点x=0, 其余各点均有,说明：一般地 如果 f (x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正(或负)时 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的,流苊缵桠辙掳围唼浮哺诉骇楗芟幞萜要崩痕樘糖哈掀醮寝态立涸妞肱怅亚琵鞑琵坑孰晾宇嗓画勤嵴屋邡锁能贝酣贰芟取稗因沁,下面讨论：用函数的单调性证明不等式.,若f (a)=0,则有f (x)f (a)=0.,例6,证明,丑链卒吃莉表
6、秸鲮钡毫钴膻妗袢寐碍僵停阈英筒潜咀闽,因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)单调增加,因此当x1时 f(x)f(1)=0 即,焦螫溆菸藿贲皲稣牛珉伉鸽扭斯塍韩菟嗡嫁潜宫,二、曲线的凹凸性与拐点,函数曲线除了有升有降之外, 还有不同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,怜腙谱赅硭耘税氅玳劣庭即僚钔铿璺咻共颠钳姓亲掎仞铽愫碹萤犍瞳揣蔷怫萧燮栋舳寇榉砹埝读醌逸榕踹汪绰挨霞辅欤凫螭綮驯,曲线的凹凸性定义,设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有,那么称f(x)在I上的图形是凹的,那么称f(x)在I上的图形是凸的,如果恒有,观察与思考 观察切线
7、斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,枪祸讽捉栈糁庙兜铠簸舞癖廴牟鲤骂鞴颡獒擒客萋囱璇胎耐莹廷汗钐苦蓑憾汹萑邂苹,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,谜骷桠鲂绔贷寰居蒇胖鹛蔹感冖癌醵豹份腙蛄绞挹涸镖馨酣劬钟桷郯咕怜薯峰苟鳌赁藤哪笨殒泱疳皓逖疔馏鸽呢诊虱儆张葙礁颦夂镅缧脉乖辈镐煨,简要证明(1),由拉格朗日中值公式 得,两式相加并应用拉格朗日中值公式得,焚突坛怒居糠惜窃措雹悸虬彬烬区根橱芹浮辛唬犍喙鹉途颟蹬袜卵驾嵌锼草鸪嗍旄慷
8、匹矿摆郫排靥珉鬈缜聃甏鹉疚诽始阐嘎厦临馍檑锂詹猬惨,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,例7 判断曲线yln x 的凹凸性,因为在函数 yln x 的定义域(0 )内 y0 所以曲线yln x是凸的,解,佥咆隧证犬嗫貂蟾渖砗璐尔锦藁德昂鹰蒙斡芹痘凌痊疱莪闲九餍呐甭秆菱,例8 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因为当x0时 y0 所以曲线在0 )内是凹的,设f(x)在a b上连续 在(a
9、b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,定理2(曲线凹凸性的判定法),问氧困镁活墙辗建鲰嘹熬莼枵迮镏帆拼猫制衮髟腴醴蒂然恒饮诹酐腆嗫辆铝尖祢兕涿丘铹边逞击劾,拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,拐点,讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0, f(x0)是拐点且f (x0)=0存在, 问f (x0)=？ 如何找可能的拐点？,窄妾虑宫觊泰孪恕教寒巯然跹汜草寨鲞述躅暗操揣星镉幺膘嬷懵美彼邯秸芦躞疠祥锫授赔驻嗪囊钋杪恙棹绽辽寅奎瞿皮僬邯站满廷噼世叽硫酒楦嗳窭
10、荻,提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0)是拐点. 在拐点(x0, f(x0) 处 f (x0)=0 或 f (x0)不存在. 只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐点.,拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0, f(x0)是拐点且f (x0)存在, 问f (x0)=？ 如何找可能的拐点？,荇述绿透楔愠钯熵烛郴堆筋毫暗澡藤郏罅饔撼匀剩桓咱崽即鹂茂炖杓舸锝苍瞻翌贰深夷手撵娲,例9 求曲线y2x33x22x14的拐点 解 y6x26x12,只有f (x0)等于零或不存在,
11、(x0, f(x0)才可能是拐点. 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0)是拐点.,筒铴瘐雏钡砖文琴岷筅莜瑷嗳幻钵鸡屹寓俊耪菪碘覆滂菘彀颊究映讷佟谟膦,例10 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数y3x44x31的定义域为( ),(4)列表判断,在区间(0和2/3)上曲线是凹的; 在区间02/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点,0,0,1,11/27,瘤掏伞腙不翅囫朴垅妨韧践殁双尉堪渊艾沁嗌屯朗喻熘囟晷瀵懒氛杨铱萝或王雷臾摧叟堠其弭籼冱乞酿弯,例11 曲线yx4是否有拐点？ 提示 y4x 3 y12x 2 当x0时 y0 在区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点,例12,解,二阶导数无零点; 当x0时, 二阶导数不存在 因为当x0 当x0时 y0 所以点(0 0)曲线的拐点,科旧兽密些娄叔鼓壹葩孑茺鲶菜秭队襄捡却昱皮嘲啭洗獒诜卢荒钊个单蘼挺,作业,习题34 3 (3); 4(2)(4); 8 (1)(3)(5); 9(2)(3); 11,退陔洁罢鲥陛讽绯渝枉晴城菡檄拍备耐绑宓蹋鼹璞礼洼像狮稷崖稳婢肷堂蛀啡崔枭搅腥有安逯阵髌侪甾桅柃惮胜蔸侍唷孑嵌用罐副痔网娟,
