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1、,第一节,重点难点 重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质 难点：椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法 知识归纳 1椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,误区警示 1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为 1(m0，n0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0)，这种形式在解题中更简便,3点与椭圆的位置关系 1
2、点(x0，y0)在 1点(x0，y0)在 1点(x0，y0)在 ,椭圆上,椭圆外,椭圆内,4、焦点三角形问题 椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形习惯上，称作焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手： 定义正、余弦定理三角形面积,4焦点三角形应注意以下关系： 定义： 周长: 余弦定理： 面积：,例1如图，把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|P2F|P7F|_.,解析：设椭圆右焦点为F，由椭圆的对称性知，|P1F|P7F|，|P2F|P6F|，|P3F|
3、P5F|， 原式(|P7F|P7F|)(|P6F|P6F|)(|P5F|P5F|) (|P4F|P4F|) 7a35. 答案：35,已知动圆P过定点A(3,0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹方程为_ 解析：如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点，即定点A(3,0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8.,已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M， 设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直 平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,解析 点P在
4、线段AN的垂直平分线上， 故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径， |PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆. 答案 B,已知实数k使函数ycoskx的周期不小于2， 则方程 1表示椭圆的概率为_,2,2,例3,(理)(08浙江)已知F1、F2为椭圆 1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_. 解析：(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|4a20，|AB|8. 答案：8,3,4,1,2.已知椭圆x2sin -y2cos =1 (0 2 )的 焦点在y轴上，则 的取值范围是
5、 （ ） A. B. C.D. 解析 椭圆方程化为 椭圆焦点在y轴上， 又0 2 ， .,D,5.椭圆上的点到焦点的最大距离a+c 最小距离a-c,答案：A,2,返回目录,已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1（- c，0），F2（c，0）.若椭圆上存在点P使 ,则该椭圆的离心率的取值范围为 .,返回目录,【分析】利用正弦定理得|PF1|，|PF2|的关系，结合定义可得|PF2|，再根据焦点弦长的最大、最小值建立不等关系.,【解析】在PF1F2中，由正弦定理知 ,即|PF1|=e|PF2| 又P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a，将代入得|PF2|= (a-c,a+c),同除以a得1-
6、e 1+e,得 -1e1.,解：, 0，BFBA，又BOFA，|BO|2 |FO|OA|， 即b2ac.a2c2ac，e2e10. 又0e1，e 答案：B,【例3】 已知点A，F分别是椭圆 1(ab0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆的一个短轴端点， 若 0，则椭圆的离心率e为(),已知椭圆 1（ab0）的左焦点为F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且BF x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P. 若 则椭圆的离心率是() A. B. C. D. 解析 OA2OF，a2c，e . 答案：D,椭圆中的焦点三角形,1,探究提高 （1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形
7、有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的关系. （2）对F1PF2的处理方法 ,定义式的平方 余弦定理 面积公式,例1若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(),答案：D,(文)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_,答案：(3,0)或(3,0),答案：C,直线与椭圆的位置关系及判断方法 (1)直线和椭圆有三种位置关系：相交、 、 ； (2)直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：ykxm，椭圆方程： 1(ab0)，两方程联立消去y可得：Ax2BxC0，其判别式为B24AC
8、. 当0时，直线与椭圆 ； 当0时，直线与椭圆 ； 当0时，直线与椭圆 ,相切,相离,相交,相切,相离,直线与椭圆的位置关系,将椭圆方程 1与ykxm联立可得到一元二次方程Ax2BxC0,直线与椭圆的位置关系,解决垂直与三点共线等问题是利用一元二次方程根与系数之间的关系及垂 直或三点共线的充要条件构造关系进行求解【例2】 在直角坐标系xOy中，点P到两点(0， )，(0， )的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A，B两点 (1)写出C的方程；(2)若OAOB，求k的值；(3)若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|OA|OB|.,解答：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点
9、P的轨迹C是以 (0， )，(0， )为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴b 1，故曲线C的方程为x21. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 消去y并整理得(k24)x22kx30， 故x1x2 x1x2 若OAOB，即x1x2y1y20.而y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是x1x2y1y2 10，化简得4k210， 所以k,(3)|OA|2|OB|2 3(x1x2)(x1x2) 因为A在第一象限，故x10.由x1x2 知x20.又k0，故|OA|2|OB|20，即在题设条件下，恒 有|OA|OB|.,已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离
10、的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标,1解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，若根据已知条件便于求出两交点的坐标不失为一种彻底有效的方法；若两交点的坐标不好表示，可将直线方程ykxc代入椭圆方程 1整理出 关于x(或y)的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为 )；,【方法规律】,2弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题求弦长可注意弦是否过椭圆焦点；弦的中点问题还
11、可利用“点差法”和对称法；解决AOBO，可以利用向量AOBO的充要条件是AOBO0. .,【例3】 （12分）椭圆C： 的两 个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2， |PF1|= ，|PF2|= . （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆 C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的 方程.,（1）可根据椭圆定义来求椭圆方程； （2）方法一：设斜率为k，表示出直线方程,然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解； 方法二：设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差 法）.,
12、思维启迪,解 （1）因为点P在椭圆C上， 所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. 2分 在RtPF1F2中， 故椭圆的半焦距c= ， 4分 从而b2=a2-c2=4， 所以椭圆C的方程为 6分,（2）方法一 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的 坐标为（-2，1），从而可设直线l的方程为： y=k(x+2)+1, 8分 代入椭圆C的方程得： (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A，B关于点M对称， 所以 10分 所以直线l的方程为y= (x+2)+1, 即8x-9y+
13、25=0. （经检验，所求直线方程符合题意） 12分,方法二 已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5, 所以圆心M的坐标为（-2，1）， 8分 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2). 由题意x1x2, 由-得： 因为A，B关于点M对称， 所以x1+x2=-4,y1+y2=2,代入得 即直线l的斜率为 ， 10分 所以直线l的方程为y-1= (x+2), 即8x-9y+25=0. （经检验，所求直线方程符合题意）. 12分,探究提高（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直 线和椭圆相交、相切或相离. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭 圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和 与两根之积的形式，这是进一步解题的基础. （3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦 的端点坐标,代入方程，用点差法求弦的斜率.注 意求出方程后，通常要检验.,
