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1、摘 要伴随漫长的解方程历史探索中，数学家得出一元多次方程解与次数关系的代数学基本定理，一直以来，学者们给出了不同的方法来证明这个定理。代数学基本定理在代数学中占有非常重要的地位，这篇论文将叙述代数学基本定理的内容，并用复变函数理论中的刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理、柯西定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。关键词：代数学基本定理； 辐角原理； 最大模原理； 最小模原理 AbstractWith a long history of exploration in the solution of equations, mathematici
2、ans come to a dollar many times the relationship between the number of equations and the fundamental theorem of algebra, has been, have given different ways to prove the theorem. Fundamental theorem of algebra in the algebra plays a very important position, this paper will describe the contents of t
3、he fundamental theorem of algebra and complex function theory with the Liouville theorem, Confucianism break theorem, argument principle, maximum modulus principle, the minimum Modulus principle, residue theorem, Cauchys Theorem to prove the fundamental theorem of algebra, and the proof are describe
4、d, compared and summarized.Keywords：Fundamental theorem of algebra; Argument principle; maximum modulus principle; minimum modulus principle目 录前言 .11 代数学基本定理的第一种陈述方式的证明 .111 利用刘维尔定理证明 .11.1.1 刘维尔定理 .11.1.2 证明过程 .11.2 利用最大模定理证明 .21.2.1 最大模原理 .21.2.2 证明过程 .21.3 利用最小模定理证明 .31.3.1 最小模原理 .31.3.2 证明过程 .31
5、.4 利用柯西定理证明 .41.4.1 柯西定理 .41.4.2 证明过程 .42 代数学基本定理的第二种陈述方式的证明 .52.1 利用儒歇定理证明 .52.1.1 儒歇定理 .52.1.2 证明过程 .62.2 利用辐角原理证明 .62.2.1 辐角原理 .62.2.2 证明过程 .62.3 利用留数定理证明 .72.3.1 留数定理 .72.3.2 证明过程 .8参考文献 .9致谢 .9浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理前言代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位。代数学基本定理的第一种陈述方式为：“任何一个一元 次多项式 在复数域内至少有n 011.)( azzazpnn一根” ，
6、它的第二种陈述方式为：“任何一个一元 次多项式在复数域内有 个根，重根按重数计算” ，这两种陈011.)( zazazpnn述方式实际上是等价的。此定理若用代数的方法证明，有些将是极其复杂的。但是，如果我们将复数域理解为复平面，将 的根理解为它在复平面上的零点，那么我们就可以)(zpn借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种，本文提出几种证明方法，其中个别方法在常见的复变函数的教材中已有涉及，如用刘维尔定理和儒歇定理证明代数学基本定理，但仍是有一些方法在复变函数教材中并未涉及。本论文将对利用复变函数中的相关定理证明代数学基本定理作进一步的探讨。1 代数学基本定
7、理的第一种陈述方式的证明1.1 利用刘维尔定理证明1.1.1 刘维尔定理刘维尔定理：有界整函数必为常数。证明： 是有界整函数，即 ，使得 ，()fz(0,)MzC()fzM, , 在 上解析0C0)(fzz()fz令 ，可见 ， ，从而 在 上恒等于常数。0zC0()fz()fzC1.1.2 证明过程假设 在 平面上无零点)(zp令 为整函数011.azzann2且当 时，z ).()01nnnzaazp对 而言，是整函数)(1zf又 0limzf在 上有界)(C由刘维尔定理： 为常数，与 不是常数矛盾)(zf)(zp一元 次方程在 内至少有一个根。n刘维尔定理应用非常广泛。用刘维尔定理做证明
8、题时常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。而在刘维尔定理证明代数学基本定理的过程中巧妙地把这两种方法结合了起来。它的证明思路很清晰：利用反证法，并构造辅助函数 ，由 为整函数且在 上有界，得到 为常数，)(1zpf)(fC)(zf这与假设相比得出矛盾，从而得出结论一元 次方程在 内至少有一个根。它的证明n过程也很简洁，很容易让初学者理解和掌握。1.2 利用最大模定理证明1.2.1 最大模原理最大模原理：设函数 在区域 内解析，且恒不为常数，则 在区域 内任)(zfD()fzD意点都取不到最大值。证明：假定 在 内不恒等于一常数，那么 是一区域()fz 1()fD
9、设 在 达到极大值f0显然， ,而且 必有一充分小的邻域包含在 内1()wfzD0w1于是在这邻域内可找到一点 满足0从而在 内有一点 满足 以及 ，这与所设矛盾z()fz0()fzf因此 在 内恒等于一常数。()fzD1.2.2 证明过程3假设 在 平面上没有零点，即nnazzp.)(1z0)(zp则 在 平面上解析)(g显然当 且 充分大时Rz有 nnzap.1)( nnRaR21).1(因此，在 上且 充分大时，有Rznzpg)(由最大模原理，有 2max()nzRg特别地，在 处，有02)0(1Rgp而这对于充分大的 显然不成立这就说明了“ 在 平面上没有零点”的假设是不成立的)(zp
10、从而可以得到 在 平面至少有一个零点即一元 次方程在 内至少有一个根。nC1.3 利用最小模定理证明1.3.1 最小模原理最小模原理：若区域 内不恒为常数的解析函数 ，在 内的点 有 ，D)(zfD0z)(f则 不可能是 在 内的最小值。)(0zf)(zf1.3.2 证明过程设 nnazzp.)(1假设 平面，有 ，并且C0)(p0)(nap又因为 在 平面上解析，且不为常数)(z所以由最小模原理知：只能在 上取得 （#）)(min,0zpRzR4另一方面， ，从而当 充分大时，在 上有 ，)(limzpz RRz)0()(pazpn则这与（#）式矛盾，所以假设不成立即 在复平面 上至少存在一个零点)(C亦即一元 次方程在 内至少有一个根。n最小模原理与最大模原理在证明代数学基本定理的时候的证明方法是极其相似的：首先都是假设一元 次方程在 内无零点，然后通过 在区域 内某一点能取到最大值)(zfD或最小值，但是 却不是常数，与定理的内容产生矛盾，从而得出一元 次方程在)(zp n内至少有一个根。这两个定理证明的关键之处是找到 在区域 内能达到最大值或C )(zf最小值的某一点，如果找到了这一点，那么我们所要解决的问题就会迎刃而解了。1.4 利用柯西定理证明1.4.1 柯西定理柯西定理：设函数 在整个 平面上的单连通区域 内解析， 为 内任何一条)(zf D
